{l}{x+2y=1}{-2x+y=-4} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { x + 2 y = 1 } \\ { - 2 x + y = - 4 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{9}{5} = 1\frac{4}{5} = 1.8$$

$$y=-\frac{2}{5}=-0.4$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$x+2y=1,-2x+y=-4$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$x+2y=1$$

Теңдеудің екі жағынан 2y санын алып тастаңыз.

$$x=-2y+1$$

Басқа теңдеуде -2y+1 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, -2x+y=-4.

$$-2\left(-2y+1\right)+y=-4$$

-2 санын -2y+1 санына көбейтіңіз.

$$4y-2+y=-4$$

4y санын y санына қосу.

$$5y-2=-4$$

Теңдеудің екі жағына да 2 санын қосыңыз.

$$5y=-2$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$y=-\frac{2}{5}$$

x=-2y+1 теңдеуінде -\frac{2}{5} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-2\left(-\frac{2}{5}\right)+1$$

-2 санын -\frac{2}{5} санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{4}{5}+1$$

1 санын \frac{4}{5} санына қосу.

$$x=\frac{9}{5}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{9}{5},y=-\frac{2}{5}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$x+2y=1,-2x+y=-4$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2\left(-2\right)}&-\frac{2}{1-2\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{1-2\left(-2\right)}&\frac{1}{1-2\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-\frac{2}{5}\\\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-4\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}-\frac{2}{5}\left(-4\right)\\\frac{2}{5}+\frac{1}{5}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{5}\\-\frac{2}{5}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{9}{5},y=-\frac{2}{5}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$x+2y=1,-2x+y=-4$$

x және -2x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -2 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына көбейтіңіз.

$$-2x-2\times 2y=-2,-2x+y=-4$$

Қысқартыңыз.

$$-2x-4y=-2,-2x+y=-4$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -2x+y=-4 мәнін -2x-4y=-2 мәнінен алып тастаңыз.

$$-2x+2x-4y-y=-2+4$$

-2x санын 2x санына қосу. -2x және 2x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-4y-y=-2+4$$

-4y санын -y санына қосу.

$$-5y=-2+4$$

-2 санын 4 санына қосу.

$$-5y=2$$

Екі жағын да -5 санына бөліңіз.

$$y=-\frac{2}{5}$$

-2x+y=-4 теңдеуінде -\frac{2}{5} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$-2x-\frac{2}{5}=-4$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{2}{5} санын қосыңыз.

$$-2x=-\frac{18}{5}$$

Екі жағын да -2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{9}{5}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{9}{5},y=-\frac{2}{5}$$