{l}{mx-y-3m+1=0}{x+my-3m-1=0} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { m x - y - 3 m + 1 = 0 } \\ { x + m y - 3 m - 1 = 0 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1}$$

$$y=\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$mx-y+1-3m=0,x+my-3m-1=0$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$mx-y+1-3m=0$$

Теңдеудің екі жағынан -3m+1 санын алып тастаңыз.

$$mx-y=3m-1$$

Теңдеудің екі жағына да y санын қосыңыз.

$$mx=y+3m-1$$

Екі жағын да m санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{m}\left(y+3m-1\right)$$

\frac{1}{m} санын y+3m-1 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{1}{m}y+3-\frac{1}{m}$$

Басқа теңдеуде \frac{y-1+3m}{m} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, x+my-3m-1=0.

$$\frac{1}{m}y+3-\frac{1}{m}+my-3m-1=0$$

\frac{y}{m} санын my санына қосу.

$$\left(m+\frac{1}{m}\right)y+3-\frac{1}{m}-3m-1=0$$

3-\frac{1}{m} санын -3m-1 санына қосу.

$$\left(m+\frac{1}{m}\right)y-3m+2-\frac{1}{m}=0$$

Теңдеудің екі жағынан 2-\frac{1}{m}-3m санын алып тастаңыз.

$$\left(m+\frac{1}{m}\right)y=3m-2+\frac{1}{m}$$

Екі жағын да m+\frac{1}{m} санына бөліңіз.

$$y=\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}$$

x=\frac{1}{m}y+3-\frac{1}{m} теңдеуінде \frac{3m^{2}+1-2m}{m^{2}+1} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{1}{m}\times \frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}+3-\frac{1}{m}$$

\frac{1}{m} санын \frac{3m^{2}+1-2m}{m^{2}+1} санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{3m^{2}-2m+1}{m\left(m^{2}+1\right)}+3-\frac{1}{m}$$

3-\frac{1}{m} санын \frac{3m^{2}+1-2m}{m\left(m^{2}+1\right)} санына қосу.

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1},y=\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$mx-y+1-3m=0,x+my-3m-1=0$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-1\\1&m\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{mm-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{mm-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{mm-\left(-1\right)}&\frac{m}{mm-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{m^{2}+1}&\frac{1}{m^{2}+1}\\-\frac{1}{m^{2}+1}&\frac{m}{m^{2}+1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3m-1\\3m+1\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{m}{m^{2}+1}\left(3m-1\right)+\frac{1}{m^{2}+1}\left(3m+1\right)\\\left(-\frac{1}{m^{2}+1}\right)\left(3m-1\right)+\frac{m}{m^{2}+1}\left(3m+1\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1}\\\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1},y=\frac{3m^{2}-2m+1}{m^{2}+1}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$mx-y+1-3m=0,x+my-3m-1=0$$

mx және x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді m санына көбейтіңіз.

$$mx-y+1-3m=0,mx+mmy+m\left(-3m-1\right)=0$$

Қысқартыңыз.

$$mx-y+1-3m=0,mx+m^{2}y-m\left(3m+1\right)=0$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы mx+m^{2}y-m\left(3m+1\right)=0 мәнін mx-y+1-3m=0 мәнінен алып тастаңыз.

$$mx+\left(-m\right)x-y+\left(-m^{2}\right)y+1-3m+m\left(3m+1\right)=0$$

mx санын -mx санына қосу. mx және -mx мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-y+\left(-m^{2}\right)y+1-3m+m\left(3m+1\right)=0$$

-y санын -m^{2}y санына қосу.

$$\left(-m^{2}-1\right)y+1-3m+m\left(3m+1\right)=0$$

-3m+1 санын m\left(3m+1\right) санына қосу.

$$\left(-m^{2}-1\right)y+3m^{2}-2m+1=0$$

Теңдеудің екі жағынан -2m+1+3m^{2} санын алып тастаңыз.

$$\left(-m^{2}-1\right)y=-3m^{2}+2m-1$$

Екі жағын да -1-m^{2} санына бөліңіз.

$$y=-\frac{-3m^{2}+2m-1}{m^{2}+1}$$

x+my-3m-1=0 теңдеуінде -\frac{2m-1-3m^{2}}{1+m^{2}} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x+m\left(-\frac{-3m^{2}+2m-1}{m^{2}+1}\right)-3m-1=0$$

m санын -\frac{2m-1-3m^{2}}{1+m^{2}} санына көбейтіңіз.

$$x-\frac{m\left(-3m^{2}+2m-1\right)}{m^{2}+1}-3m-1=0$$

-\frac{m\left(2m-1-3m^{2}\right)}{1+m^{2}} санын -3m-1 санына қосу.

$$x-\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1}=0$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{2m+3m^{2}+1}{1+m^{2}} санын қосыңыз.

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{3m^{2}+2m+1}{m^{2}+1},y=-\frac{-3m^{2}+2m-1}{m^{2}+1}$$