{l}{mx-ny=m^2+n^2}{x+y=2m} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { m x - n y = m ^ { 2 } + n ^ { 2 } } \\ { x + y = 2 m } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}\\x=m+n\text{, }y=m-n\text{, }&\text{unconditionally}\\x=2m-y\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&m=-n\end{matrix}\right.$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2}$$

Теңдеудің екі жағына да ny санын қосыңыз.

$$mx=ny+m^{2}+n^{2}$$

Екі жағын да m санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{m}\left(ny+m^{2}+n^{2}\right)$$

\frac{1}{m} санын ny+m^{2}+n^{2} санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m$$

Басқа теңдеуде \frac{m^{2}+ny+n^{2}}{m} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, x+y=2m.

$$\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m+y=2m$$

\frac{ny}{m} санын y санына қосу.

$$\frac{m+n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m=2m$$

Теңдеудің екі жағынан m+\frac{n^{2}}{m} санын алып тастаңыз.

$$\frac{m+n}{m}y=-\frac{n^{2}}{m}+m$$

Екі жағын да \frac{m+n}{m} санына бөліңіз.

$$y=m-n$$

x=\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m теңдеуінде m-n мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{n}{m}\left(m-n\right)+\frac{n^{2}}{m}+m$$

\frac{n}{m} санын m-n санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{n\left(m-n\right)}{m}+\frac{n^{2}}{m}+m$$

m+\frac{n^{2}}{m} санын \frac{n\left(m-n\right)}{m} санына қосу.

$$x=m+n$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=m+n,y=m-n$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m-\left(-n\right)}&-\frac{-n}{m-\left(-n\right)}\\-\frac{1}{m-\left(-n\right)}&\frac{m}{m-\left(-n\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m+n}&\frac{n}{m+n}\\-\frac{1}{m+n}&\frac{m}{m+n}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m+n}\left(m^{2}+n^{2}\right)+\frac{n}{m+n}\times 2m\\\left(-\frac{1}{m+n}\right)\left(m^{2}+n^{2}\right)+\frac{m}{m+n}\times 2m\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}m+n\\m-n\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=m+n,y=m-n$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

mx және x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді m санына көбейтіңіз.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},mx+my=m\times 2m$$

Қысқартыңыз.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},mx+my=2m^{2}$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы mx+my=2m^{2} мәнін mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2} мәнінен алып тастаңыз.

$$mx+\left(-m\right)x+\left(-n\right)y+\left(-m\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

mx санын -mx санына қосу. mx және -mx мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$\left(-n\right)y+\left(-m\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

-ny санын -my санына қосу.

$$\left(-m-n\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

m^{2}+n^{2} санын -2m^{2} санына қосу.

$$\left(-m-n\right)y=\left(n-m\right)\left(m+n\right)$$

Екі жағын да -m-n санына бөліңіз.

$$y=m-n$$

x+y=2m теңдеуінде m-n мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x+m-n=2m$$

Теңдеудің екі жағынан m-n санын алып тастаңыз.

$$x=m+n$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=m+n,y=m-n$$

x, y мәнін табыңыз

$$\left\{\begin{matrix}\\x=m+n\text{, }y=m-n\text{, }&\text{unconditionally}\\x=2m-y\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&m=-n\end{matrix}\right.$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2}$$

Теңдеудің екі жағына да ny санын қосыңыз.

$$mx=ny+m^{2}+n^{2}$$

Екі жағын да m санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{m}\left(ny+m^{2}+n^{2}\right)$$

\frac{1}{m} санын ny+m^{2}+n^{2} санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m$$

Басқа теңдеуде \frac{m^{2}+ny+n^{2}}{m} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, x+y=2m.

$$\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m+y=2m$$

\frac{ny}{m} санын y санына қосу.

$$\frac{m+n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m=2m$$

Теңдеудің екі жағынан m+\frac{n^{2}}{m} санын алып тастаңыз.

$$\frac{m+n}{m}y=-\frac{n^{2}}{m}+m$$

Екі жағын да \frac{m+n}{m} санына бөліңіз.

$$y=m-n$$

x=\frac{n}{m}y+\frac{n^{2}}{m}+m теңдеуінде m-n мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{n}{m}\left(m-n\right)+\frac{n^{2}}{m}+m$$

\frac{n}{m} санын m-n санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{n\left(m-n\right)}{m}+\frac{n^{2}}{m}+m$$

m+\frac{n^{2}}{m} санын \frac{n\left(m-n\right)}{m} санына қосу.

$$x=m+n$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=m+n,y=m-n$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}m&-n\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m-\left(-n\right)}&-\frac{-n}{m-\left(-n\right)}\\-\frac{1}{m-\left(-n\right)}&\frac{m}{m-\left(-n\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m+n}&\frac{n}{m+n}\\-\frac{1}{m+n}&\frac{m}{m+n}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m^{2}+n^{2}\\2m\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{m+n}\left(m^{2}+n^{2}\right)+\frac{n}{m+n}\times 2m\\\left(-\frac{1}{m+n}\right)\left(m^{2}+n^{2}\right)+\frac{m}{m+n}\times 2m\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}m+n\\m-n\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=m+n,y=m-n$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},x+y=2m$$

mx және x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді m санына көбейтіңіз.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},mx+my=m\times 2m$$

Қысқартыңыз.

$$mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2},mx+my=2m^{2}$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы mx+my=2m^{2} мәнін mx+\left(-n\right)y=m^{2}+n^{2} мәнінен алып тастаңыз.

$$mx+\left(-m\right)x+\left(-n\right)y+\left(-m\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

mx санын -mx санына қосу. mx және -mx мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$\left(-n\right)y+\left(-m\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

-ny санын -my санына қосу.

$$\left(-m-n\right)y=m^{2}+n^{2}-2m^{2}$$

m^{2}+n^{2} санын -2m^{2} санына қосу.

$$\left(-m-n\right)y=\left(n-m\right)\left(m+n\right)$$

Екі жағын да -m-n санына бөліңіз.

$$y=m-n$$

x+y=2m теңдеуінде m-n мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x+m-n=2m$$

Теңдеудің екі жағынан m-n санын алып тастаңыз.

$$x=m+n$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=m+n,y=m-n$$