{l}{m+2n=5}{n-2m+2=7} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { m + 2 n = 5 } \\ { n - 2 m + 2 = 7 } \end{array} \right.$$

m, n мәнін табыңыз

$$m=-1$$

$$n=3$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$m+2n=5,-2m+n+2=7$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және m мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы m мәнін шешіңіз.

$$m+2n=5$$

Теңдеудің екі жағынан 2n санын алып тастаңыз.

$$m=-2n+5$$

Басқа теңдеуде -2n+5 мәнін m мәнімен ауыстырыңыз, -2m+n+2=7.

$$-2\left(-2n+5\right)+n+2=7$$

-2 санын -2n+5 санына көбейтіңіз.

$$4n-10+n+2=7$$

4n санын n санына қосу.

$$5n-10+2=7$$

-10 санын 2 санына қосу.

$$5n-8=7$$

Теңдеудің екі жағына да 8 санын қосыңыз.

$$5n=15$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$n=3$$

m=-2n+5 теңдеуінде 3 мәнін n мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, m мәнін тікелей таба аласыз.

$$m=-2\times 3+5$$

-2 санын 3 санына көбейтіңіз.

$$m=-6+5$$

5 санын -6 санына қосу.

$$m=-1$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$m=-1,n=3$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$m+2n=5,-2m+n+2=7$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&2\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-2\left(-2\right)}&-\frac{2}{1-2\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{1-2\left(-2\right)}&\frac{1}{1-2\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}&-\frac{2}{5}\\\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\5\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{5}\times 5-\frac{2}{5}\times 5\\\frac{2}{5}\times 5+\frac{1}{5}\times 5\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

m және n матрица элементтерін шығарыңыз.

$$m=-1,n=3$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$m+2n=5,-2m+n+2=7$$

m және -2m мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -2 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына көбейтіңіз.

$$-2m-2\times 2n=-2\times 5,-2m+n+2=7$$

Қысқартыңыз.

$$-2m-4n=-10,-2m+n+2=7$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -2m+n+2=7 мәнін -2m-4n=-10 мәнінен алып тастаңыз.

$$-2m+2m-4n-n-2=-10-7$$

-2m санын 2m санына қосу. -2m және 2m мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-4n-n-2=-10-7$$

-4n санын -n санына қосу.

$$-5n-2=-10-7$$

-10 санын -7 санына қосу.

$$-5n-2=-17$$

Теңдеудің екі жағына да 2 санын қосыңыз.

$$-5n=-15$$

Екі жағын да -5 санына бөліңіз.

$$n=3$$

-2m+n+2=7 теңдеуінде 3 мәнін n мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, m мәнін тікелей таба аласыз.

$$-2m+3+2=7$$

3 санын 2 санына қосу.

$$-2m+5=7$$

Теңдеудің екі жағынан 5 санын алып тастаңыз.

$$-2m=2$$

Екі жағын да -2 санына бөліңіз.

$$m=-1$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$m=-1,n=3$$