{l}{f(x)=y+7}{f(y)=9x+8} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { f ( x ) = y + 7 } \\ { f ( y ) = 9 x + 8 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз (complex solution)

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9}$$

$$y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

$$f\neq -3\text{ and }f\neq 3$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да y мәнін қысқартыңыз.

$$fx-y=7$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 9x мәнін қысқартыңыз.

$$fy-9x=8$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$fx-y=7$$

Теңдеудің екі жағына да y санын қосыңыз.

$$fx=y+7$$

Екі жағын да f санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{f}\left(y+7\right)$$

\frac{1}{f} санын y+7 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}$$

Басқа теңдеуде \frac{7+y}{f} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, -9x+fy=8.

$$-9\left(\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}\right)+fy=8$$

-9 санын \frac{7+y}{f} санына көбейтіңіз.

$$\left(-\frac{9}{f}\right)y-\frac{63}{f}+fy=8$$

-\frac{9y}{f} санын fy санына қосу.

$$\left(f-\frac{9}{f}\right)y-\frac{63}{f}=8$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{63}{f} санын қосыңыз.

$$\left(f-\frac{9}{f}\right)y=8+\frac{63}{f}$$

Екі жағын да f-\frac{9}{f} санына бөліңіз.

$$y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

x=\frac{1}{f}y+\frac{7}{f} теңдеуінде \frac{63+8f}{f^{2}-9} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{1}{f}\times \frac{8f+63}{f^{2}-9}+\frac{7}{f}$$

\frac{1}{f} санын \frac{63+8f}{f^{2}-9} санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{8f+63}{f\left(f^{2}-9\right)}+\frac{7}{f}$$

\frac{7}{f} санын \frac{63+8f}{f\left(f^{2}-9\right)} санына қосу.

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9},y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да y мәнін қысқартыңыз.

$$fx-y=7$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 9x мәнін қысқартыңыз.

$$fy-9x=8$$

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 матрицасы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}&-\frac{-1}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}\\-\frac{-9}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}&\frac{f}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{f^{2}-9}&\frac{1}{f^{2}-9}\\\frac{9}{f^{2}-9}&\frac{f}{f^{2}-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{f^{2}-9}\times 7+\frac{1}{f^{2}-9}\times 8\\\frac{9}{f^{2}-9}\times 7+\frac{f}{f^{2}-9}\times 8\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7f+8}{f^{2}-9}\\\frac{8f+63}{f^{2}-9}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9},y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да y мәнін қысқартыңыз.

$$fx-y=7$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 9x мәнін қысқартыңыз.

$$fy-9x=8$$

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

fx және -9x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -9 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді f санына көбейтіңіз.

$$-9fx-9\left(-1\right)y=-9\times 7,f\left(-9\right)x+ffy=f\times 8$$

Қысқартыңыз.

$$\left(-9f\right)x+9y=-63,\left(-9f\right)x+f^{2}y=8f$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы \left(-9f\right)x+f^{2}y=8f мәнін \left(-9f\right)x+9y=-63 мәнінен алып тастаңыз.

$$\left(-9f\right)x+9fx+9y+\left(-f^{2}\right)y=-63-8f$$

-9fx санын 9fx санына қосу. -9fx және 9fx мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$9y+\left(-f^{2}\right)y=-63-8f$$

9y санын -f^{2}y санына қосу.

$$\left(9-f^{2}\right)y=-63-8f$$

-63 санын -8f санына қосу.

$$\left(9-f^{2}\right)y=-8f-63$$

Екі жағын да -f^{2}+9 санына бөліңіз.

$$y=-\frac{8f+63}{9-f^{2}}$$

-9x+fy=8 теңдеуінде -\frac{63+8f}{9-f^{2}} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$-9x+f\left(-\frac{8f+63}{9-f^{2}}\right)=8$$

f санын -\frac{63+8f}{9-f^{2}} санына көбейтіңіз.

$$-9x-\frac{f\left(8f+63\right)}{9-f^{2}}=8$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{f\left(63+8f\right)}{9-f^{2}} санын қосыңыз.

$$-9x=\frac{9\left(7f+8\right)}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)}$$

Екі жағын да -9 санына бөліңіз.

$$x=-\frac{7f+8}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{7f+8}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)},y=-\frac{8f+63}{9-f^{2}}$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9}$$

$$y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

$$|f|\neq 3$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да y мәнін қысқартыңыз.

$$fx-y=7$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 9x мәнін қысқартыңыз.

$$fy-9x=8$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$fx-y=7$$

Теңдеудің екі жағына да y санын қосыңыз.

$$fx=y+7$$

Екі жағын да f санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{f}\left(y+7\right)$$

\frac{1}{f} санын y+7 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}$$

Басқа теңдеуде \frac{7+y}{f} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, -9x+fy=8.

$$-9\left(\frac{1}{f}y+\frac{7}{f}\right)+fy=8$$

-9 санын \frac{7+y}{f} санына көбейтіңіз.

$$\left(-\frac{9}{f}\right)y-\frac{63}{f}+fy=8$$

-\frac{9y}{f} санын fy санына қосу.

$$\left(f-\frac{9}{f}\right)y-\frac{63}{f}=8$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{63}{f} санын қосыңыз.

$$\left(f-\frac{9}{f}\right)y=8+\frac{63}{f}$$

Екі жағын да f-\frac{9}{f} санына бөліңіз.

$$y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

x=\frac{1}{f}y+\frac{7}{f} теңдеуінде \frac{63+8f}{f^{2}-9} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{1}{f}\times \frac{8f+63}{f^{2}-9}+\frac{7}{f}$$

\frac{1}{f} санын \frac{63+8f}{f^{2}-9} санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{8f+63}{f\left(f^{2}-9\right)}+\frac{7}{f}$$

\frac{7}{f} санын \frac{63+8f}{f\left(f^{2}-9\right)} санына қосу.

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9},y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да y мәнін қысқартыңыз.

$$fx-y=7$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 9x мәнін қысқартыңыз.

$$fy-9x=8$$

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}f&-1\\-9&f\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 матрицасы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}&-\frac{-1}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}\\-\frac{-9}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}&\frac{f}{ff-\left(-\left(-9\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{f^{2}-9}&\frac{1}{f^{2}-9}\\\frac{9}{f^{2}-9}&\frac{f}{f^{2}-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\8\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{f}{f^{2}-9}\times 7+\frac{1}{f^{2}-9}\times 8\\\frac{9}{f^{2}-9}\times 7+\frac{f}{f^{2}-9}\times 8\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7f+8}{f^{2}-9}\\\frac{8f+63}{f^{2}-9}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{7f+8}{f^{2}-9},y=\frac{8f+63}{f^{2}-9}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Бірінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да y мәнін қысқартыңыз.

$$fx-y=7$$

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 9x мәнін қысқартыңыз.

$$fy-9x=8$$

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$fx-y=7,-9x+fy=8$$

fx және -9x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -9 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді f санына көбейтіңіз.

$$-9fx-9\left(-1\right)y=-9\times 7,f\left(-9\right)x+ffy=f\times 8$$

Қысқартыңыз.

$$\left(-9f\right)x+9y=-63,\left(-9f\right)x+f^{2}y=8f$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы \left(-9f\right)x+f^{2}y=8f мәнін \left(-9f\right)x+9y=-63 мәнінен алып тастаңыз.

$$\left(-9f\right)x+9fx+9y+\left(-f^{2}\right)y=-63-8f$$

-9fx санын 9fx санына қосу. -9fx және 9fx мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$9y+\left(-f^{2}\right)y=-63-8f$$

9y санын -f^{2}y санына қосу.

$$\left(9-f^{2}\right)y=-63-8f$$

-63 санын -8f санына қосу.

$$\left(9-f^{2}\right)y=-8f-63$$

Екі жағын да -f^{2}+9 санына бөліңіз.

$$y=-\frac{8f+63}{9-f^{2}}$$

-9x+fy=8 теңдеуінде -\frac{63+8f}{9-f^{2}} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$-9x+f\left(-\frac{8f+63}{9-f^{2}}\right)=8$$

f санын -\frac{63+8f}{9-f^{2}} санына көбейтіңіз.

$$-9x-\frac{f\left(8f+63\right)}{9-f^{2}}=8$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{f\left(63+8f\right)}{9-f^{2}} санын қосыңыз.

$$-9x=\frac{9\left(7f+8\right)}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)}$$

Екі жағын да -9 санына бөліңіз.

$$x=-\frac{7f+8}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{7f+8}{\left(3-f\right)\left(f+3\right)},y=-\frac{8f+63}{9-f^{2}}$$