{l}{cx+y=69}{2x+y=87} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { c x + y = 69 } \\ { 2 x + y = 87 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=-\frac{18}{c-2}$$

$$y=-\frac{3\left(46-29c\right)}{c-2}$$

$$c\neq 2$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$cx+y=69,2x+y=87$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$cx+y=69$$

Теңдеудің екі жағынан y санын алып тастаңыз.

$$cx=-y+69$$

Екі жағын да c санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{c}\left(-y+69\right)$$

\frac{1}{c} санын -y+69 санына көбейтіңіз.

$$x=\left(-\frac{1}{c}\right)y+\frac{69}{c}$$

Басқа теңдеуде \frac{69-y}{c} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 2x+y=87.

$$2\left(\left(-\frac{1}{c}\right)y+\frac{69}{c}\right)+y=87$$

2 санын \frac{69-y}{c} санына көбейтіңіз.

$$\left(-\frac{2}{c}\right)y+\frac{138}{c}+y=87$$

-\frac{2y}{c} санын y санына қосу.

$$\frac{c-2}{c}y+\frac{138}{c}=87$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{138}{c} санын алып тастаңыз.

$$\frac{c-2}{c}y=87-\frac{138}{c}$$

Екі жағын да \frac{-2+c}{c} санына бөліңіз.

$$y=\frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}$$

x=\left(-\frac{1}{c}\right)y+\frac{69}{c} теңдеуінде \frac{3\left(-46+29c\right)}{-2+c} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\left(-\frac{1}{c}\right)\times \frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}+\frac{69}{c}$$

-\frac{1}{c} санын \frac{3\left(-46+29c\right)}{-2+c} санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{3\left(29c-46\right)}{c\left(c-2\right)}+\frac{69}{c}$$

\frac{69}{c} санын -\frac{3\left(-46+29c\right)}{c\left(-2+c\right)} санына қосу.

$$x=-\frac{18}{c-2}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{18}{c-2},y=\frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$cx+y=69,2x+y=87$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}c&1\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{c-2}&-\frac{1}{c-2}\\-\frac{2}{c-2}&\frac{c}{c-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}69\\87\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{c-2}\times 69+\left(-\frac{1}{c-2}\right)\times 87\\\left(-\frac{2}{c-2}\right)\times 69+\frac{c}{c-2}\times 87\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{18}{c-2}\\\frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-\frac{18}{c-2},y=\frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$cx+y=69,2x+y=87$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 2x+y=87 мәнін cx+y=69 мәнінен алып тастаңыз.

$$cx-2x+y-y=69-87$$

y санын -y санына қосу. y және -y мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$cx-2x=69-87$$

cx санын -2x санына қосу.

$$\left(c-2\right)x=69-87$$

69 санын -87 санына қосу.

$$\left(c-2\right)x=-18$$

Екі жағын да c-2 санына бөліңіз.

$$x=-\frac{18}{c-2}$$

2x+y=87 теңдеуінде -\frac{18}{c-2} мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$2\left(-\frac{18}{c-2}\right)+y=87$$

2 санын -\frac{18}{c-2} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{36}{c-2}+y=87$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{36}{c-2} санын қосыңыз.

$$y=\frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{18}{c-2},y=\frac{3\left(29c-46\right)}{c-2}$$