{l}{b*12x-15y=-4}{16x+10y=7} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { b \cdot 12 x - 15 y = - 4 } \\ { 16 x + 10 y = 7 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=\frac{13}{24\left(b+2\right)}$$

$$y=\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}$$

$$b\neq -2$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$12bx-15y=-4,16x+10y=7$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$12bx-15y=-4$$

Теңдеудің екі жағына да 15y санын қосыңыз.

$$12bx=15y-4$$

Екі жағын да 12b санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{12b}\left(15y-4\right)$$

\frac{1}{12b} санын 15y-4 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{5}{4b}y-\frac{1}{3b}$$

Басқа теңдеуде \frac{-4+15y}{12b} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 16x+10y=7.

$$16\left(\frac{5}{4b}y-\frac{1}{3b}\right)+10y=7$$

16 санын \frac{-4+15y}{12b} санына көбейтіңіз.

$$\frac{20}{b}y-\frac{16}{3b}+10y=7$$

\frac{20y}{b} санын 10y санына қосу.

$$\left(10+\frac{20}{b}\right)y-\frac{16}{3b}=7$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{16}{3b} санын қосыңыз.

$$\left(10+\frac{20}{b}\right)y=7+\frac{16}{3b}$$

Екі жағын да \frac{20}{b}+10 санына бөліңіз.

$$y=\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}$$

x=\frac{5}{4b}y-\frac{1}{3b} теңдеуінде \frac{16+21b}{30\left(2+b\right)} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{5}{4b}\times \frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}-\frac{1}{3b}$$

\frac{5}{4b} санын \frac{16+21b}{30\left(2+b\right)} санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{21b+16}{24b\left(b+2\right)}-\frac{1}{3b}$$

-\frac{1}{3b} санын \frac{16+21b}{24b\left(2+b\right)} санына қосу.

$$x=\frac{13}{24\left(b+2\right)}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{13}{24\left(b+2\right)},y=\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$12bx-15y=-4,16x+10y=7$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}12b&-15\\16&10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{12b\times 10-\left(-15\times 16\right)}&-\frac{-15}{12b\times 10-\left(-15\times 16\right)}\\-\frac{16}{12b\times 10-\left(-15\times 16\right)}&\frac{12b}{12b\times 10-\left(-15\times 16\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12\left(b+2\right)}&\frac{1}{8\left(b+2\right)}\\-\frac{2}{15\left(b+2\right)}&\frac{b}{10\left(b+2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-4\\7\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12\left(b+2\right)}\left(-4\right)+\frac{1}{8\left(b+2\right)}\times 7\\\left(-\frac{2}{15\left(b+2\right)}\right)\left(-4\right)+\frac{b}{10\left(b+2\right)}\times 7\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{13}{24\left(b+2\right)}\\\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{13}{24\left(b+2\right)},y=\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$12bx-15y=-4,16x+10y=7$$

12bx және 16x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 16 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 12b санына көбейтіңіз.

$$16\times 12bx+16\left(-15\right)y=16\left(-4\right),12b\times 16x+12b\times 10y=12b\times 7$$

Қысқартыңыз.

$$192bx-240y=-64,192bx+120by=84b$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 192bx+120by=84b мәнін 192bx-240y=-64 мәнінен алып тастаңыз.

$$192bx+\left(-192b\right)x-240y+\left(-120b\right)y=-64-84b$$

192bx санын -192bx санына қосу. 192bx және -192bx мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-240y+\left(-120b\right)y=-64-84b$$

-240y санын -120by санына қосу.

$$\left(-120b-240\right)y=-64-84b$$

-64 санын -84b санына қосу.

$$\left(-120b-240\right)y=-84b-64$$

Екі жағын да -240-120b санына бөліңіз.

$$y=\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}$$

16x+10y=7 теңдеуінде \frac{16+21b}{30\left(2+b\right)} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$16x+10\times \frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}=7$$

10 санын \frac{16+21b}{30\left(2+b\right)} санына көбейтіңіз.

$$16x+\frac{21b+16}{3\left(b+2\right)}=7$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{16+21b}{3\left(2+b\right)} санын алып тастаңыз.

$$16x=\frac{26}{3\left(b+2\right)}$$

Екі жағын да 16 санына бөліңіз.

$$x=\frac{13}{24\left(b+2\right)}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{13}{24\left(b+2\right)},y=\frac{21b+16}{30\left(b+2\right)}$$