{l}{ax+by=c}{a^2x+b^2y=c} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { a x + b y = c } \\ { a ^ { 2 } x + b ^ { 2 } y = c } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{c\left(1-b\right)}{a\left(b-a\right)}\text{, }y=-\frac{c\left(a-1\right)}{b\left(b-a\right)}\text{, }&b\neq 0\text{ and }a\neq b\text{ and }a\neq 0\\x=-\frac{by-c}{a}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&\left(c=0\text{ and }b=0\text{ and }a\neq 0\right)\text{ or }\left(c=0\text{ and }a=b\text{ and }b\neq 0\right)\text{ or }\left(a=1\text{ and }b=1\right)\text{ or }\left(a=1\text{ and }b=0\right)\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=0\text{, }&c=0\text{ and }a=0\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=c\text{, }&b=1\text{ and }a=0\\x\in \mathrm{C}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&c=0\text{ and }b=0\text{ and }a=0\end{matrix}\right.$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$ax+by=c,a^{2}x+b^{2}y=c$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$ax+by=c$$

Теңдеудің екі жағынан by санын алып тастаңыз.

$$ax=\left(-b\right)y+c$$

Екі жағын да a санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{a}\left(\left(-b\right)y+c\right)$$

\frac{1}{a} санын -by+c санына көбейтіңіз.

$$x=\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{c}{a}$$

Басқа теңдеуде \frac{-by+c}{a} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, a^{2}x+b^{2}y=c.

$$a^{2}\left(\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{c}{a}\right)+b^{2}y=c$$

a^{2} санын \frac{-by+c}{a} санына көбейтіңіз.

$$\left(-ab\right)y+ac+b^{2}y=c$$

-bay санын b^{2}y санына қосу.

$$b\left(b-a\right)y+ac=c$$

Теңдеудің екі жағынан ca санын алып тастаңыз.

$$b\left(b-a\right)y=c-ac$$

Екі жағын да b\left(b-a\right) санына бөліңіз.

$$y=\frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}$$

x=\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{c}{a} теңдеуінде \frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\left(-\frac{b}{a}\right)\times \frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}+\frac{c}{a}$$

-\frac{b}{a} санын \frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)} санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{c\left(1-a\right)}{a\left(b-a\right)}+\frac{c}{a}$$

\frac{c}{a} санын -\frac{\left(1-a\right)c}{\left(b-a\right)a} санына қосу.

$$x=\frac{c\left(b-1\right)}{a\left(b-a\right)}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{c\left(b-1\right)}{a\left(b-a\right)},y=\frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$ax+by=c,a^{2}x+b^{2}y=c$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b^{2}}{ab^{2}-ba^{2}}&-\frac{b}{ab^{2}-ba^{2}}\\-\frac{a^{2}}{ab^{2}-ba^{2}}&\frac{a}{ab^{2}-ba^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{a\left(b-a\right)}&-\frac{1}{a\left(b-a\right)}\\-\frac{a}{b\left(b-a\right)}&\frac{1}{b\left(b-a\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{a\left(b-a\right)}c+\left(-\frac{1}{a\left(b-a\right)}\right)c\\\left(-\frac{a}{b\left(b-a\right)}\right)c+\frac{1}{b\left(b-a\right)}c\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{c\left(b-1\right)}{a\left(b-a\right)}\\\frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{c\left(b-1\right)}{a\left(b-a\right)},y=\frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$ax+by=c,a^{2}x+b^{2}y=c$$

ax және a^{2}x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді a^{2} санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді a санына көбейтіңіз.

$$a^{2}ax+a^{2}by=a^{2}c,aa^{2}x+ab^{2}y=ac$$

Қысқартыңыз.

$$a^{3}x+ba^{2}y=ca^{2},a^{3}x+ab^{2}y=ac$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы a^{3}x+ab^{2}y=ac мәнін a^{3}x+ba^{2}y=ca^{2} мәнінен алып тастаңыз.

$$a^{3}x+\left(-a^{3}\right)x+ba^{2}y+\left(-ab^{2}\right)y=ca^{2}-ac$$

a^{3}x санын -a^{3}x санына қосу. a^{3}x және -a^{3}x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$ba^{2}y+\left(-ab^{2}\right)y=ca^{2}-ac$$

a^{2}by санын -ab^{2}y санына қосу.

$$ab\left(a-b\right)y=ca^{2}-ac$$

a^{2}c санын -ac санына қосу.

$$ab\left(a-b\right)y=ac\left(a-1\right)$$

Екі жағын да ab\left(a-b\right) санына бөліңіз.

$$y=\frac{c\left(a-1\right)}{b\left(a-b\right)}$$

a^{2}x+b^{2}y=c теңдеуінде \frac{\left(-1+a\right)c}{b\left(a-b\right)} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$a^{2}x+b^{2}\times \frac{c\left(a-1\right)}{b\left(a-b\right)}=c$$

b^{2} санын \frac{\left(-1+a\right)c}{b\left(a-b\right)} санына көбейтіңіз.

$$a^{2}x+\frac{bc\left(a-1\right)}{a-b}=c$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{b\left(-1+a\right)c}{a-b} санын алып тастаңыз.

$$a^{2}x=\frac{ac\left(1-b\right)}{a-b}$$

Екі жағын да a^{2} санына бөліңіз.

$$x=\frac{c\left(1-b\right)}{a\left(a-b\right)}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{c\left(1-b\right)}{a\left(a-b\right)},y=\frac{c\left(a-1\right)}{b\left(a-b\right)}$$

x, y мәнін табыңыз

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{c\left(1-b\right)}{a\left(b-a\right)}\text{, }y=-\frac{c\left(a-1\right)}{b\left(b-a\right)}\text{, }&b\neq 0\text{ and }a\neq b\text{ and }a\neq 0\\x=-\frac{by-c}{a}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&\left(c=0\text{ and }b=0\text{ and }a\neq 0\right)\text{ or }\left(c=0\text{ and }a=b\text{ and }b\neq 0\right)\text{ or }\left(a=1\text{ and }b=1\right)\text{ or }\left(a=1\text{ and }b=0\right)\\x\in \mathrm{R}\text{, }y=0\text{, }&c=0\text{ and }a=0\text{ and }b\neq 1\text{ and }b\neq 0\\x\in \mathrm{R}\text{, }y=c\text{, }&b=1\text{ and }a=0\\x\in \mathrm{R}\text{, }y\in \mathrm{R}\text{, }&c=0\text{ and }b=0\text{ and }a=0\end{matrix}\right.$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$ax+by=c,a^{2}x+b^{2}y=c$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$ax+by=c$$

Теңдеудің екі жағынан by санын алып тастаңыз.

$$ax=\left(-b\right)y+c$$

Екі жағын да a санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{a}\left(\left(-b\right)y+c\right)$$

\frac{1}{a} санын -by+c санына көбейтіңіз.

$$x=\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{c}{a}$$

Басқа теңдеуде \frac{-by+c}{a} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, a^{2}x+b^{2}y=c.

$$a^{2}\left(\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{c}{a}\right)+b^{2}y=c$$

a^{2} санын \frac{-by+c}{a} санына көбейтіңіз.

$$\left(-ab\right)y+ac+b^{2}y=c$$

-bay санын b^{2}y санына қосу.

$$b\left(b-a\right)y+ac=c$$

Теңдеудің екі жағынан ca санын алып тастаңыз.

$$b\left(b-a\right)y=c-ac$$

Екі жағын да b\left(-a+b\right) санына бөліңіз.

$$y=\frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}$$

x=\left(-\frac{b}{a}\right)y+\frac{c}{a} теңдеуінде \frac{c\left(1-a\right)}{b\left(-a+b\right)} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\left(-\frac{b}{a}\right)\times \frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}+\frac{c}{a}$$

-\frac{b}{a} санын \frac{c\left(1-a\right)}{b\left(-a+b\right)} санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{c\left(1-a\right)}{a\left(b-a\right)}+\frac{c}{a}$$

\frac{c}{a} санын -\frac{\left(1-a\right)c}{\left(-a+b\right)a} санына қосу.

$$x=\frac{c\left(b-1\right)}{a\left(b-a\right)}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{c\left(b-1\right)}{a\left(b-a\right)},y=\frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$ax+by=c,a^{2}x+b^{2}y=c$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}a&b\\a^{2}&b^{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b^{2}}{ab^{2}-ba^{2}}&-\frac{b}{ab^{2}-ba^{2}}\\-\frac{a^{2}}{ab^{2}-ba^{2}}&\frac{a}{ab^{2}-ba^{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{a\left(b-a\right)}&-\frac{1}{a\left(b-a\right)}\\-\frac{a}{b\left(b-a\right)}&\frac{1}{b\left(b-a\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}c\\c\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{b}{a\left(b-a\right)}c+\left(-\frac{1}{a\left(b-a\right)}\right)c\\\left(-\frac{a}{b\left(b-a\right)}\right)c+\frac{1}{b\left(b-a\right)}c\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{c\left(b-1\right)}{a\left(b-a\right)}\\\frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{c\left(b-1\right)}{a\left(b-a\right)},y=\frac{c\left(1-a\right)}{b\left(b-a\right)}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$ax+by=c,a^{2}x+b^{2}y=c$$

ax және a^{2}x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді a^{2} санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді a санына көбейтіңіз.

$$a^{2}ax+a^{2}by=a^{2}c,aa^{2}x+ab^{2}y=ac$$

Қысқартыңыз.

$$a^{3}x+ba^{2}y=ca^{2},a^{3}x+ab^{2}y=ac$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы a^{3}x+ab^{2}y=ac мәнін a^{3}x+ba^{2}y=ca^{2} мәнінен алып тастаңыз.

$$a^{3}x+\left(-a^{3}\right)x+ba^{2}y+\left(-ab^{2}\right)y=ca^{2}-ac$$

a^{3}x санын -a^{3}x санына қосу. a^{3}x және -a^{3}x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$ba^{2}y+\left(-ab^{2}\right)y=ca^{2}-ac$$

a^{2}by санын -ab^{2}y санына қосу.

$$ab\left(a-b\right)y=ca^{2}-ac$$

a^{2}c санын -ac санына қосу.

$$ab\left(a-b\right)y=ac\left(a-1\right)$$

Екі жағын да ab\left(a-b\right) санына бөліңіз.

$$y=\frac{c\left(a-1\right)}{b\left(a-b\right)}$$

a^{2}x+b^{2}y=c теңдеуінде \frac{\left(-1+a\right)c}{b\left(a-b\right)} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$a^{2}x+b^{2}\times \frac{c\left(a-1\right)}{b\left(a-b\right)}=c$$

b^{2} санын \frac{\left(-1+a\right)c}{b\left(a-b\right)} санына көбейтіңіз.

$$a^{2}x+\frac{bc\left(a-1\right)}{a-b}=c$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{b\left(-1+a\right)c}{a-b} санын алып тастаңыз.

$$a^{2}x=\frac{ac\left(1-b\right)}{a-b}$$

Екі жағын да a^{2} санына бөліңіз.

$$x=\frac{c\left(1-b\right)}{a\left(a-b\right)}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{c\left(1-b\right)}{a\left(a-b\right)},y=\frac{c\left(a-1\right)}{b\left(a-b\right)}$$