{l}{a+b=4}{2a-b=1} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { a + b = 4 } \\ { 2 a - b = 1 } \end{array} \right.$$

a, b мәнін табыңыз

$$a = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

$$b = \frac{7}{3} = 2\frac{1}{3} \approx 2.333333333$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$a+b=4,2a-b=1$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және a мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы a мәнін шешіңіз.

$$a+b=4$$

Теңдеудің екі жағынан b санын алып тастаңыз.

$$a=-b+4$$

Басқа теңдеуде -b+4 мәнін a мәнімен ауыстырыңыз, 2a-b=1.

$$2\left(-b+4\right)-b=1$$

2 санын -b+4 санына көбейтіңіз.

$$-2b+8-b=1$$

-2b санын -b санына қосу.

$$-3b+8=1$$

Теңдеудің екі жағынан 8 санын алып тастаңыз.

$$-3b=-7$$

Екі жағын да -3 санына бөліңіз.

$$b=\frac{7}{3}$$

a=-b+4 теңдеуінде \frac{7}{3} мәнін b мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, a мәнін тікелей таба аласыз.

$$a=-\frac{7}{3}+4$$

4 санын -\frac{7}{3} санына қосу.

$$a=\frac{5}{3}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$a=\frac{5}{3},b=\frac{7}{3}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$a+b=4,2a-b=1$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\2&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-2}&-\frac{1}{-1-2}\\-\frac{2}{-1-2}&\frac{1}{-1-2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\1\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 4+\frac{1}{3}\\\frac{2}{3}\times 4-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3}\\\frac{7}{3}\end{matrix}\right)$$

a және b матрица элементтерін шығарыңыз.

$$a=\frac{5}{3},b=\frac{7}{3}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$a+b=4,2a-b=1$$

a және 2a мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына көбейтіңіз.

$$2a+2b=2\times 4,2a-b=1$$

Қысқартыңыз.

$$2a+2b=8,2a-b=1$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 2a-b=1 мәнін 2a+2b=8 мәнінен алып тастаңыз.

$$2a-2a+2b+b=8-1$$

2a санын -2a санына қосу. 2a және -2a мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$2b+b=8-1$$

2b санын b санына қосу.

$$3b=8-1$$

8 санын -1 санына қосу.

$$3b=7$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$b=\frac{7}{3}$$

2a-b=1 теңдеуінде \frac{7}{3} мәнін b мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, a мәнін тікелей таба аласыз.

$$2a-\frac{7}{3}=1$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{7}{3} санын қосыңыз.

$$2a=\frac{10}{3}$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$a=\frac{5}{3}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$a=\frac{5}{3},b=\frac{7}{3}$$