{l}{Ax+By=C}{Dx+Cy=F} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { A x + B y = C } \\ { D x + C y = F } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз (complex solution)

$$\left\{\begin{matrix}x=-\frac{BF-C^{2}}{AC-BD}\text{, }y=-\frac{CD-AF}{AC-BD}\text{, }&\left(B\neq 0\text{ or }C\neq 0\right)\text{ and }\left(C\neq 0\text{ or }D\neq 0\right)\text{ and }\left(C=0\text{ or }A\neq \frac{BD}{C}\text{ or }B=0\text{ or }D=0\right)\text{ and }A\neq 0\\x=-\frac{By-C}{A}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&A\neq 0\text{ and }F=\frac{BD^{2}}{A^{2}}\text{ and }C=\frac{BD}{A}\\x=\frac{BF-C^{2}}{BD}\text{, }y=\frac{C}{B}\text{, }&A=0\text{ and }D\neq 0\text{ and }B\neq 0\\x=\frac{F}{D}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&A=0\text{ and }D\neq 0\text{ and }C=0\text{ and }B=0\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=B^{-\frac{1}{2}}\sqrt{F}\text{, }&A=0\text{ and }D=0\text{ and }B\neq 0\text{ and }C=\sqrt{B}\sqrt{F}\\x\in \mathrm{C}\text{, }y=-B^{-\frac{1}{2}}\sqrt{F}\text{, }&A=0\text{ and }D=0\text{ and }B\neq 0\text{ and }C=-\sqrt{B}\sqrt{F}\\x\in \mathrm{C}\text{, }y\in \mathrm{C}\text{, }&A=0\text{ and }D=0\text{ and }F=0\text{ and }B=0\text{ and }C=0\end{matrix}\right.$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$Ax+By=C,Dx+Cy=F$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$Ax+By=C$$

Теңдеудің екі жағынан By санын алып тастаңыз.

$$Ax=\left(-B\right)y+C$$

Екі жағын да A санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{A}\left(\left(-B\right)y+C\right)$$

\frac{1}{A} санын -By+C санына көбейтіңіз.

$$x=\left(-\frac{B}{A}\right)y+\frac{C}{A}$$

Басқа теңдеуде \frac{-By+C}{A} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, Dx+Cy=F.

$$D\left(\left(-\frac{B}{A}\right)y+\frac{C}{A}\right)+Cy=F$$

D санын \frac{-By+C}{A} санына көбейтіңіз.

$$\left(-\frac{BD}{A}\right)y+\frac{CD}{A}+Cy=F$$

-\frac{DBy}{A} санын Cy санына қосу.

$$\left(-\frac{BD}{A}+C\right)y+\frac{CD}{A}=F$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{DC}{A} санын алып тастаңыз.

$$\left(-\frac{BD}{A}+C\right)y=-\frac{CD}{A}+F$$

Екі жағын да C-\frac{DB}{A} санына бөліңіз.

$$y=\frac{AF-CD}{AC-BD}$$

x=\left(-\frac{B}{A}\right)y+\frac{C}{A} теңдеуінде \frac{FA-DC}{CA-DB} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\left(-\frac{B}{A}\right)\times \frac{AF-CD}{AC-BD}+\frac{C}{A}$$

-\frac{B}{A} санын \frac{FA-DC}{CA-DB} санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{B\left(AF-CD\right)}{A\left(AC-BD\right)}+\frac{C}{A}$$

\frac{C}{A} санын -\frac{B\left(FA-DC\right)}{A\left(CA-DB\right)} санына қосу.

$$x=\frac{C^{2}-BF}{AC-BD}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{C^{2}-BF}{AC-BD},y=\frac{AF-CD}{AC-BD}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$Ax+By=C,Dx+Cy=F$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}C\\F\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}C\\F\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}C\\F\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}A&B\\D&C\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}C\\F\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{C}{AC-BD}&-\frac{B}{AC-BD}\\-\frac{D}{AC-BD}&\frac{A}{AC-BD}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}C\\F\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{C}{AC-BD}C+\left(-\frac{B}{AC-BD}\right)F\\\left(-\frac{D}{AC-BD}\right)C+\frac{A}{AC-BD}F\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{BF-C^{2}}{BD-AC}\\\frac{CD-AF}{BD-AC}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{BF-C^{2}}{BD-AC},y=\frac{CD-AF}{BD-AC}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$Ax+By=C,Dx+Cy=F$$

Ax және Dx мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді D санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді A санына көбейтіңіз.

$$DAx+DBy=DC,ADx+ACy=AF$$

Қысқартыңыз.

$$ADx+BDy=CD,ADx+ACy=AF$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы ADx+ACy=AF мәнін ADx+BDy=CD мәнінен алып тастаңыз.

$$ADx+\left(-AD\right)x+BDy+\left(-AC\right)y=CD-AF$$

DAx санын -DAx санына қосу. DAx және -DAx мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$BDy+\left(-AC\right)y=CD-AF$$

DBy санын -ACy санына қосу.

$$\left(BD-AC\right)y=CD-AF$$

Екі жағын да DB-AC санына бөліңіз.

$$y=\frac{CD-AF}{BD-AC}$$

Dx+Cy=F теңдеуінде \frac{DC-AF}{DB-AC} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$Dx+C\times \frac{CD-AF}{BD-AC}=F$$

C санын \frac{DC-AF}{DB-AC} санына көбейтіңіз.

$$Dx+\frac{C\left(CD-AF\right)}{BD-AC}=F$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{C\left(DC-AF\right)}{DB-AC} санын алып тастаңыз.

$$Dx=\frac{D\left(BF-C^{2}\right)}{BD-AC}$$

Екі жағын да D санына бөліңіз.

$$x=\frac{BF-C^{2}}{BD-AC}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{BF-C^{2}}{BD-AC},y=\frac{CD-AF}{BD-AC}$$