{l}{9x-7y=-19}{3x+y=7} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x - 7 y = - 19 } \\ { 3 x + y = 7 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=1$$

$$y=4$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$9x-7y=-19,3x+y=7$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$9x-7y=-19$$

Теңдеудің екі жағына да 7y санын қосыңыз.

$$9x=7y-19$$

Екі жағын да 9 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{9}\left(7y-19\right)$$

\frac{1}{9} санын 7y-19 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{7}{9}y-\frac{19}{9}$$

Басқа теңдеуде \frac{7y-19}{9} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 3x+y=7.

$$3\left(\frac{7}{9}y-\frac{19}{9}\right)+y=7$$

3 санын \frac{7y-19}{9} санына көбейтіңіз.

$$\frac{7}{3}y-\frac{19}{3}+y=7$$

\frac{7y}{3} санын y санына қосу.

$$\frac{10}{3}y-\frac{19}{3}=7$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{19}{3} санын қосыңыз.

$$\frac{10}{3}y=\frac{40}{3}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{10}{3} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=4$$

x=\frac{7}{9}y-\frac{19}{9} теңдеуінде 4 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{7}{9}\times 4-\frac{19}{9}$$

\frac{7}{9} санын 4 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{28-19}{9}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы -\frac{19}{9} бөлшегіне \frac{28}{9} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=1$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=1,y=4$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$9x-7y=-19,3x+y=7$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}9&-7\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-19\\7\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}9&-7\\3&1\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&-7\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-7\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-7\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-19\\7\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-7\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-19\\7\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-7\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-19\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9-\left(-7\times 3\right)}&-\frac{-7}{9-\left(-7\times 3\right)}\\-\frac{3}{9-\left(-7\times 3\right)}&\frac{9}{9-\left(-7\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-19\\7\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{30}&\frac{7}{30}\\-\frac{1}{10}&\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-19\\7\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{30}\left(-19\right)+\frac{7}{30}\times 7\\-\frac{1}{10}\left(-19\right)+\frac{3}{10}\times 7\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\4\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=1,y=4$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$9x-7y=-19,3x+y=7$$

9x және 3x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 9 санына көбейтіңіз.

$$3\times 9x+3\left(-7\right)y=3\left(-19\right),9\times 3x+9y=9\times 7$$

Қысқартыңыз.

$$27x-21y=-57,27x+9y=63$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 27x+9y=63 мәнін 27x-21y=-57 мәнінен алып тастаңыз.

$$27x-27x-21y-9y=-57-63$$

27x санын -27x санына қосу. 27x және -27x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-21y-9y=-57-63$$

-21y санын -9y санына қосу.

$$-30y=-57-63$$

-57 санын -63 санына қосу.

$$-30y=-120$$

Екі жағын да -30 санына бөліңіз.

$$y=4$$

3x+y=7 теңдеуінде 4 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$3x+4=7$$

Теңдеудің екі жағынан 4 санын алып тастаңыз.

$$3x=3$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=1$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=1,y=4$$