{l}{9x-3y-13=0}{2x+y-4=0} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x - 3 y - 13 = 0 } \\ { 2 x + y - 4 = 0 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

$$y=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$9x-3y-13=0,2x+y-4=0$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$9x-3y-13=0$$

Теңдеудің екі жағына да 13 санын қосыңыз.

$$9x-3y=13$$

Теңдеудің екі жағына да 3y санын қосыңыз.

$$9x=3y+13$$

Екі жағын да 9 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{9}\left(3y+13\right)$$

\frac{1}{9} санын 3y+13 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{1}{3}y+\frac{13}{9}$$

Басқа теңдеуде \frac{y}{3}+\frac{13}{9} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 2x+y-4=0.

$$2\left(\frac{1}{3}y+\frac{13}{9}\right)+y-4=0$$

2 санын \frac{y}{3}+\frac{13}{9} санына көбейтіңіз.

$$\frac{2}{3}y+\frac{26}{9}+y-4=0$$

\frac{2y}{3} санын y санына қосу.

$$\frac{5}{3}y+\frac{26}{9}-4=0$$

\frac{26}{9} санын -4 санына қосу.

$$\frac{5}{3}y-\frac{10}{9}=0$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{10}{9} санын қосыңыз.

$$\frac{5}{3}y=\frac{10}{9}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{5}{3} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=\frac{2}{3}$$

x=\frac{1}{3}y+\frac{13}{9} теңдеуінде \frac{2}{3} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{1}{3}\times \frac{2}{3}+\frac{13}{9}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{2}{3} санын \frac{1}{3} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{2+13}{9}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{13}{9} бөлшегіне \frac{2}{9} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{5}{3}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{5}{3},y=\frac{2}{3}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$9x-3y-13=0,2x+y-4=0$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-3\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9-\left(-3\times 2\right)}&-\frac{-3}{9-\left(-3\times 2\right)}\\-\frac{2}{9-\left(-3\times 2\right)}&\frac{9}{9-\left(-3\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}&\frac{1}{5}\\-\frac{2}{15}&\frac{3}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}13\\4\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{15}\times 13+\frac{1}{5}\times 4\\-\frac{2}{15}\times 13+\frac{3}{5}\times 4\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3}\\\frac{2}{3}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{5}{3},y=\frac{2}{3}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$9x-3y-13=0,2x+y-4=0$$

9x және 2x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 9 санына көбейтіңіз.

$$2\times 9x+2\left(-3\right)y+2\left(-13\right)=0,9\times 2x+9y+9\left(-4\right)=0$$

Қысқартыңыз.

$$18x-6y-26=0,18x+9y-36=0$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 18x+9y-36=0 мәнін 18x-6y-26=0 мәнінен алып тастаңыз.

$$18x-18x-6y-9y-26+36=0$$

18x санын -18x санына қосу. 18x және -18x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-6y-9y-26+36=0$$

-6y санын -9y санына қосу.

$$-15y-26+36=0$$

-26 санын 36 санына қосу.

$$-15y+10=0$$

Теңдеудің екі жағынан 10 санын алып тастаңыз.

$$-15y=-10$$

Екі жағын да -15 санына бөліңіз.

$$y=\frac{2}{3}$$

2x+y-4=0 теңдеуінде \frac{2}{3} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$2x+\frac{2}{3}-4=0$$

\frac{2}{3} санын -4 санына қосу.

$$2x-\frac{10}{3}=0$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{10}{3} санын қосыңыз.

$$2x=\frac{10}{3}$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{5}{3}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{5}{3},y=\frac{2}{3}$$