{l}{9x+y=88}{7x-8y=7} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x + y = 88 } \\ { 7 x - 8 y = 7 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=9$$

$$y=7$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$9x+y=88,7x-8y=7$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$9x+y=88$$

Теңдеудің екі жағынан y санын алып тастаңыз.

$$9x=-y+88$$

Екі жағын да 9 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{9}\left(-y+88\right)$$

\frac{1}{9} санын -y+88 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{1}{9}y+\frac{88}{9}$$

Басқа теңдеуде \frac{-y+88}{9} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 7x-8y=7.

$$7\left(-\frac{1}{9}y+\frac{88}{9}\right)-8y=7$$

7 санын \frac{-y+88}{9} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{7}{9}y+\frac{616}{9}-8y=7$$

-\frac{7y}{9} санын -8y санына қосу.

$$-\frac{79}{9}y+\frac{616}{9}=7$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{616}{9} санын алып тастаңыз.

$$-\frac{79}{9}y=-\frac{553}{9}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{79}{9} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=7$$

x=-\frac{1}{9}y+\frac{88}{9} теңдеуінде 7 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{1}{9}\times 7+\frac{88}{9}$$

-\frac{1}{9} санын 7 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-7+88}{9}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{88}{9} бөлшегіне -\frac{7}{9} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=9$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=9,y=7$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$9x+y=88,7x-8y=7$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}9&1\\7&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}88\\7\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}9&1\\7&-8\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&1\\7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&1\\7&-8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&1\\7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}88\\7\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&1\\7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}88\\7\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&1\\7&-8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}88\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{8}{9\left(-8\right)-7}&-\frac{1}{9\left(-8\right)-7}\\-\frac{7}{9\left(-8\right)-7}&\frac{9}{9\left(-8\right)-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}88\\7\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{79}&\frac{1}{79}\\\frac{7}{79}&-\frac{9}{79}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}88\\7\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{79}\times 88+\frac{1}{79}\times 7\\\frac{7}{79}\times 88-\frac{9}{79}\times 7\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=9,y=7$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$9x+y=88,7x-8y=7$$

9x және 7x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 7 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 9 санына көбейтіңіз.

$$7\times 9x+7y=7\times 88,9\times 7x+9\left(-8\right)y=9\times 7$$

Қысқартыңыз.

$$63x+7y=616,63x-72y=63$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 63x-72y=63 мәнін 63x+7y=616 мәнінен алып тастаңыз.

$$63x-63x+7y+72y=616-63$$

63x санын -63x санына қосу. 63x және -63x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$7y+72y=616-63$$

7y санын 72y санына қосу.

$$79y=616-63$$

616 санын -63 санына қосу.

$$79y=553$$

Екі жағын да 79 санына бөліңіз.

$$y=7$$

7x-8y=7 теңдеуінде 7 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$7x-8\times 7=7$$

-8 санын 7 санына көбейтіңіз.

$$7x-56=7$$

Теңдеудің екі жағына да 56 санын қосыңыз.

$$7x=63$$

Екі жағын да 7 санына бөліңіз.

$$x=9$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=9,y=7$$