{l}{9x+7y=6}{8x+3y=9} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x + 7 y = 6 } \\ { 8 x + 3 y = 9 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{45}{29} = 1\frac{16}{29} \approx 1.551724138$$

$$y = -\frac{33}{29} = -1\frac{4}{29} \approx -1.137931034$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$9x+7y=6,8x+3y=9$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$9x+7y=6$$

Теңдеудің екі жағынан 7y санын алып тастаңыз.

$$9x=-7y+6$$

Екі жағын да 9 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{9}\left(-7y+6\right)$$

\frac{1}{9} санын -7y+6 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{7}{9}y+\frac{2}{3}$$

Басқа теңдеуде -\frac{7y}{9}+\frac{2}{3} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 8x+3y=9.

$$8\left(-\frac{7}{9}y+\frac{2}{3}\right)+3y=9$$

8 санын -\frac{7y}{9}+\frac{2}{3} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{56}{9}y+\frac{16}{3}+3y=9$$

-\frac{56y}{9} санын 3y санына қосу.

$$-\frac{29}{9}y+\frac{16}{3}=9$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{16}{3} санын алып тастаңыз.

$$-\frac{29}{9}y=\frac{11}{3}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{29}{9} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=-\frac{33}{29}$$

x=-\frac{7}{9}y+\frac{2}{3} теңдеуінде -\frac{33}{29} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{7}{9}\left(-\frac{33}{29}\right)+\frac{2}{3}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы -\frac{33}{29} санын -\frac{7}{9} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{77}{87}+\frac{2}{3}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{2}{3} бөлшегіне \frac{77}{87} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{45}{29}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{45}{29},y=-\frac{33}{29}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$9x+7y=6,8x+3y=9$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}9&7\\8&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}9&7\\8&3\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&7\\8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&7\\8&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&7\\8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&7\\8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&7\\8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{9\times 3-7\times 8}&-\frac{7}{9\times 3-7\times 8}\\-\frac{8}{9\times 3-7\times 8}&\frac{9}{9\times 3-7\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{29}&\frac{7}{29}\\\frac{8}{29}&-\frac{9}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\9\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{29}\times 6+\frac{7}{29}\times 9\\\frac{8}{29}\times 6-\frac{9}{29}\times 9\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{45}{29}\\-\frac{33}{29}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{45}{29},y=-\frac{33}{29}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$9x+7y=6,8x+3y=9$$

9x және 8x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 8 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 9 санына көбейтіңіз.

$$8\times 9x+8\times 7y=8\times 6,9\times 8x+9\times 3y=9\times 9$$

Қысқартыңыз.

$$72x+56y=48,72x+27y=81$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 72x+27y=81 мәнін 72x+56y=48 мәнінен алып тастаңыз.

$$72x-72x+56y-27y=48-81$$

72x санын -72x санына қосу. 72x және -72x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$56y-27y=48-81$$

56y санын -27y санына қосу.

$$29y=48-81$$

48 санын -81 санына қосу.

$$29y=-33$$

Екі жағын да 29 санына бөліңіз.

$$y=-\frac{33}{29}$$

8x+3y=9 теңдеуінде -\frac{33}{29} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$8x+3\left(-\frac{33}{29}\right)=9$$

3 санын -\frac{33}{29} санына көбейтіңіз.

$$8x-\frac{99}{29}=9$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{99}{29} санын қосыңыз.

$$8x=\frac{360}{29}$$

Екі жағын да 8 санына бөліңіз.

$$x=\frac{45}{29}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{45}{29},y=-\frac{33}{29}$$