{l}{9x+13y=9}{2x+y=11} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 9 x + 13 y = 9 } \\ { 2 x + y = 11 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{134}{17} = 7\frac{15}{17} \approx 7.882352941$$

$$y = -\frac{81}{17} = -4\frac{13}{17} \approx -4.764705882$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$9x+13y=9,2x+y=11$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$9x+13y=9$$

Теңдеудің екі жағынан 13y санын алып тастаңыз.

$$9x=-13y+9$$

Екі жағын да 9 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{9}\left(-13y+9\right)$$

\frac{1}{9} санын -13y+9 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{13}{9}y+1$$

Басқа теңдеуде -\frac{13y}{9}+1 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 2x+y=11.

$$2\left(-\frac{13}{9}y+1\right)+y=11$$

2 санын -\frac{13y}{9}+1 санына көбейтіңіз.

$$-\frac{26}{9}y+2+y=11$$

-\frac{26y}{9} санын y санына қосу.

$$-\frac{17}{9}y+2=11$$

Теңдеудің екі жағынан 2 санын алып тастаңыз.

$$-\frac{17}{9}y=9$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{17}{9} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=-\frac{81}{17}$$

x=-\frac{13}{9}y+1 теңдеуінде -\frac{81}{17} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{13}{9}\left(-\frac{81}{17}\right)+1$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы -\frac{81}{17} санын -\frac{13}{9} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{117}{17}+1$$

1 санын \frac{117}{17} санына қосу.

$$x=\frac{134}{17}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{134}{17},y=-\frac{81}{17}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$9x+13y=9,2x+y=11$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\11\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\11\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\11\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&13\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9-13\times 2}&-\frac{13}{9-13\times 2}\\-\frac{2}{9-13\times 2}&\frac{9}{9-13\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\11\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{17}&\frac{13}{17}\\\frac{2}{17}&-\frac{9}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\11\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{17}\times 9+\frac{13}{17}\times 11\\\frac{2}{17}\times 9-\frac{9}{17}\times 11\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{134}{17}\\-\frac{81}{17}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{134}{17},y=-\frac{81}{17}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$9x+13y=9,2x+y=11$$

9x және 2x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 9 санына көбейтіңіз.

$$2\times 9x+2\times 13y=2\times 9,9\times 2x+9y=9\times 11$$

Қысқартыңыз.

$$18x+26y=18,18x+9y=99$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 18x+9y=99 мәнін 18x+26y=18 мәнінен алып тастаңыз.

$$18x-18x+26y-9y=18-99$$

18x санын -18x санына қосу. 18x және -18x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$26y-9y=18-99$$

26y санын -9y санына қосу.

$$17y=18-99$$

18 санын -99 санына қосу.

$$17y=-81$$

Екі жағын да 17 санына бөліңіз.

$$y=-\frac{81}{17}$$

2x+y=11 теңдеуінде -\frac{81}{17} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$2x-\frac{81}{17}=11$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{81}{17} санын қосыңыз.

$$2x=\frac{268}{17}$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{134}{17}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{134}{17},y=-\frac{81}{17}$$