{l}{9m+7n=178}{9m+6n=168} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 9 m + 7 n = 178 } \\ { 9 m + 6 n = 168 } \end{array} \right.$$

m, n мәнін табыңыз

$$m=12$$

$$n=10$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$9m+7n=178,9m+6n=168$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және m мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы m мәнін шешіңіз.

$$9m+7n=178$$

Теңдеудің екі жағынан 7n санын алып тастаңыз.

$$9m=-7n+178$$

Екі жағын да 9 санына бөліңіз.

$$m=\frac{1}{9}\left(-7n+178\right)$$

\frac{1}{9} санын -7n+178 санына көбейтіңіз.

$$m=-\frac{7}{9}n+\frac{178}{9}$$

Басқа теңдеуде \frac{-7n+178}{9} мәнін m мәнімен ауыстырыңыз, 9m+6n=168.

$$9\left(-\frac{7}{9}n+\frac{178}{9}\right)+6n=168$$

9 санын \frac{-7n+178}{9} санына көбейтіңіз.

$$-7n+178+6n=168$$

-7n санын 6n санына қосу.

$$-n+178=168$$

Теңдеудің екі жағынан 178 санын алып тастаңыз.

$$-n=-10$$

Екі жағын да -1 санына бөліңіз.

$$n=10$$

m=-\frac{7}{9}n+\frac{178}{9} теңдеуінде 10 мәнін n мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, m мәнін тікелей таба аласыз.

$$m=-\frac{7}{9}\times 10+\frac{178}{9}$$

-\frac{7}{9} санын 10 санына көбейтіңіз.

$$m=\frac{-70+178}{9}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{178}{9} бөлшегіне -\frac{70}{9} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$m=12$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$m=12,n=10$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$9m+7n=178,9m+6n=168$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}9&7\\9&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}178\\168\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}9&7\\9&6\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&7\\9&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&7\\9&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&7\\9&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}178\\168\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&7\\9&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}178\\168\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&7\\9&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}178\\168\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{9\times 6-7\times 9}&-\frac{7}{9\times 6-7\times 9}\\-\frac{9}{9\times 6-7\times 9}&\frac{9}{9\times 6-7\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}178\\168\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}&\frac{7}{9}\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}178\\168\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\times 178+\frac{7}{9}\times 168\\178-168\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\10\end{matrix}\right)$$

m және n матрица элементтерін шығарыңыз.

$$m=12,n=10$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$9m+7n=178,9m+6n=168$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 9m+6n=168 мәнін 9m+7n=178 мәнінен алып тастаңыз.

$$9m-9m+7n-6n=178-168$$

9m санын -9m санына қосу. 9m және -9m мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$7n-6n=178-168$$

7n санын -6n санына қосу.

$$n=178-168$$

178 санын -168 санына қосу.

$$n=10$$

9m+6n=168 теңдеуінде 10 мәнін n мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, m мәнін тікелей таба аласыз.

$$9m+6\times 10=168$$

6 санын 10 санына көбейтіңіз.

$$9m+60=168$$

Теңдеудің екі жағынан 60 санын алып тастаңыз.

$$9m=108$$

Екі жағын да 9 санына бөліңіз.

$$m=12$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$m=12,n=10$$