{l}{9m+6n=123}{9m+5n=113} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 9 m + 6 n = 123 } \\ { 9 m + 5 n = 113 } \end{array} \right.$$

m, n мәнін табыңыз

$$m=7$$

$$n=10$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$9m+6n=123,9m+5n=113$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және m мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы m мәнін шешіңіз.

$$9m+6n=123$$

Теңдеудің екі жағынан 6n санын алып тастаңыз.

$$9m=-6n+123$$

Екі жағын да 9 санына бөліңіз.

$$m=\frac{1}{9}\left(-6n+123\right)$$

\frac{1}{9} санын -6n+123 санына көбейтіңіз.

$$m=-\frac{2}{3}n+\frac{41}{3}$$

Басқа теңдеуде \frac{-2n+41}{3} мәнін m мәнімен ауыстырыңыз, 9m+5n=113.

$$9\left(-\frac{2}{3}n+\frac{41}{3}\right)+5n=113$$

9 санын \frac{-2n+41}{3} санына көбейтіңіз.

$$-6n+123+5n=113$$

-6n санын 5n санына қосу.

$$-n+123=113$$

Теңдеудің екі жағынан 123 санын алып тастаңыз.

$$-n=-10$$

Екі жағын да -1 санына бөліңіз.

$$n=10$$

m=-\frac{2}{3}n+\frac{41}{3} теңдеуінде 10 мәнін n мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, m мәнін тікелей таба аласыз.

$$m=-\frac{2}{3}\times 10+\frac{41}{3}$$

-\frac{2}{3} санын 10 санына көбейтіңіз.

$$m=\frac{-20+41}{3}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{41}{3} бөлшегіне -\frac{20}{3} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$m=7$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$m=7,n=10$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$9m+6n=123,9m+5n=113$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}9&6\\9&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}123\\113\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}9&6\\9&5\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&6\\9&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}123\\113\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}123\\113\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&6\\9&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}123\\113\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{9\times 5-6\times 9}&-\frac{6}{9\times 5-6\times 9}\\-\frac{9}{9\times 5-6\times 9}&\frac{9}{9\times 5-6\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}123\\113\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{9}&\frac{2}{3}\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}123\\113\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{9}\times 123+\frac{2}{3}\times 113\\123-113\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\10\end{matrix}\right)$$

m және n матрица элементтерін шығарыңыз.

$$m=7,n=10$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$9m+6n=123,9m+5n=113$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 9m+5n=113 мәнін 9m+6n=123 мәнінен алып тастаңыз.

$$9m-9m+6n-5n=123-113$$

9m санын -9m санына қосу. 9m және -9m мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$6n-5n=123-113$$

6n санын -5n санына қосу.

$$n=123-113$$

123 санын -113 санына қосу.

$$n=10$$

9m+5n=113 теңдеуінде 10 мәнін n мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, m мәнін тікелей таба аласыз.

$$9m+5\times 10=113$$

5 санын 10 санына көбейтіңіз.

$$9m+50=113$$

Теңдеудің екі жағынан 50 санын алып тастаңыз.

$$9m=63$$

Екі жағын да 9 санына бөліңіз.

$$m=7$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$m=7,n=10$$