{l}{80x+160y=4}{5600x+5600y=5536} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 80 x + 160 y = 4 } \\ { 5600 x + 5600 y = 5536 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{1349}{700} = 1\frac{649}{700} \approx 1.927142857$$

$$y=-\frac{657}{700}\approx -0.938571429$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$80x+160y=4,5600x+5600y=5536$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$80x+160y=4$$

Теңдеудің екі жағынан 160y санын алып тастаңыз.

$$80x=-160y+4$$

Екі жағын да 80 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{80}\left(-160y+4\right)$$

\frac{1}{80} санын -160y+4 санына көбейтіңіз.

$$x=-2y+\frac{1}{20}$$

Басқа теңдеуде -2y+\frac{1}{20} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 5600x+5600y=5536.

$$5600\left(-2y+\frac{1}{20}\right)+5600y=5536$$

5600 санын -2y+\frac{1}{20} санына көбейтіңіз.

$$-11200y+280+5600y=5536$$

-11200y санын 5600y санына қосу.

$$-5600y+280=5536$$

Теңдеудің екі жағынан 280 санын алып тастаңыз.

$$-5600y=5256$$

Екі жағын да -5600 санына бөліңіз.

$$y=-\frac{657}{700}$$

x=-2y+\frac{1}{20} теңдеуінде -\frac{657}{700} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-2\left(-\frac{657}{700}\right)+\frac{1}{20}$$

-2 санын -\frac{657}{700} санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{657}{350}+\frac{1}{20}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{1}{20} бөлшегіне \frac{657}{350} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{1349}{700}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{1349}{700},y=-\frac{657}{700}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$80x+160y=4,5600x+5600y=5536$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}80&160\\5600&5600\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\5536\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}80&160\\5600&5600\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\5600&5600\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}80&160\\5600&5600\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\5600&5600\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\5536\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\5600&5600\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\5536\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}80&160\\5600&5600\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\5536\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5600}{80\times 5600-160\times 5600}&-\frac{160}{80\times 5600-160\times 5600}\\-\frac{5600}{80\times 5600-160\times 5600}&\frac{80}{80\times 5600-160\times 5600}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\5536\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}&\frac{1}{2800}\\\frac{1}{80}&-\frac{1}{5600}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\5536\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{80}\times 4+\frac{1}{2800}\times 5536\\\frac{1}{80}\times 4-\frac{1}{5600}\times 5536\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1349}{700}\\-\frac{657}{700}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{1349}{700},y=-\frac{657}{700}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$80x+160y=4,5600x+5600y=5536$$

80x және 5600x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 5600 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 80 санына көбейтіңіз.

$$5600\times 80x+5600\times 160y=5600\times 4,80\times 5600x+80\times 5600y=80\times 5536$$

Қысқартыңыз.

$$448000x+896000y=22400,448000x+448000y=442880$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 448000x+448000y=442880 мәнін 448000x+896000y=22400 мәнінен алып тастаңыз.

$$448000x-448000x+896000y-448000y=22400-442880$$

448000x санын -448000x санына қосу. 448000x және -448000x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$896000y-448000y=22400-442880$$

896000y санын -448000y санына қосу.

$$448000y=22400-442880$$

22400 санын -442880 санына қосу.

$$448000y=-420480$$

Екі жағын да 448000 санына бөліңіз.

$$y=-\frac{657}{700}$$

5600x+5600y=5536 теңдеуінде -\frac{657}{700} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$5600x+5600\left(-\frac{657}{700}\right)=5536$$

5600 санын -\frac{657}{700} санына көбейтіңіз.

$$5600x-5256=5536$$

Теңдеудің екі жағына да 5256 санын қосыңыз.

$$5600x=10792$$

Екі жағын да 5600 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1349}{700}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{1349}{700},y=-\frac{657}{700}$$