{l}{8y+x=7}{7y+8x=16} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 8 y + x = 7 } \\ { 7 y + 8 x = 16 } \end{array} \right.$$

y, x мәнін табыңыз

$$x = \frac{79}{57} = 1\frac{22}{57} \approx 1.385964912$$

$$y=\frac{40}{57}\approx 0.701754386$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$8y+x=7,7y+8x=16$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және y мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы y мәнін шешіңіз.

$$8y+x=7$$

Теңдеудің екі жағынан x санын алып тастаңыз.

$$8y=-x+7$$

Екі жағын да 8 санына бөліңіз.

$$y=\frac{1}{8}\left(-x+7\right)$$

\frac{1}{8} санын -x+7 санына көбейтіңіз.

$$y=-\frac{1}{8}x+\frac{7}{8}$$

Басқа теңдеуде \frac{-x+7}{8} мәнін y мәнімен ауыстырыңыз, 7y+8x=16.

$$7\left(-\frac{1}{8}x+\frac{7}{8}\right)+8x=16$$

7 санын \frac{-x+7}{8} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{7}{8}x+\frac{49}{8}+8x=16$$

-\frac{7x}{8} санын 8x санына қосу.

$$\frac{57}{8}x+\frac{49}{8}=16$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{49}{8} санын алып тастаңыз.

$$\frac{57}{8}x=\frac{79}{8}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{57}{8} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$x=\frac{79}{57}$$

y=-\frac{1}{8}x+\frac{7}{8} теңдеуінде \frac{79}{57} мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$y=-\frac{1}{8}\times \frac{79}{57}+\frac{7}{8}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{79}{57} санын -\frac{1}{8} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$y=-\frac{79}{456}+\frac{7}{8}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{7}{8} бөлшегіне -\frac{79}{456} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$y=\frac{40}{57}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$y=\frac{40}{57},x=\frac{79}{57}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$8y+x=7,7y+8x=16$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}8&1\\7&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\16\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}8&1\\7&8\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\7&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&1\\7&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\7&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\16\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\7&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\16\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&1\\7&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\16\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{8\times 8-7}&-\frac{1}{8\times 8-7}\\-\frac{7}{8\times 8-7}&\frac{8}{8\times 8-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\16\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{57}&-\frac{1}{57}\\-\frac{7}{57}&\frac{8}{57}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\16\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{57}\times 7-\frac{1}{57}\times 16\\-\frac{7}{57}\times 7+\frac{8}{57}\times 16\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{40}{57}\\\frac{79}{57}\end{matrix}\right)$$

y және x матрица элементтерін шығарыңыз.

$$y=\frac{40}{57},x=\frac{79}{57}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$8y+x=7,7y+8x=16$$

8y және 7y мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 7 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 8 санына көбейтіңіз.

$$7\times 8y+7x=7\times 7,8\times 7y+8\times 8x=8\times 16$$

Қысқартыңыз.

$$56y+7x=49,56y+64x=128$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 56y+64x=128 мәнін 56y+7x=49 мәнінен алып тастаңыз.

$$56y-56y+7x-64x=49-128$$

56y санын -56y санына қосу. 56y және -56y мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$7x-64x=49-128$$

7x санын -64x санына қосу.

$$-57x=49-128$$

49 санын -128 санына қосу.

$$-57x=-79$$

Екі жағын да -57 санына бөліңіз.

$$x=\frac{79}{57}$$

7y+8x=16 теңдеуінде \frac{79}{57} мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$7y+8\times \frac{79}{57}=16$$

8 санын \frac{79}{57} санына көбейтіңіз.

$$7y+\frac{632}{57}=16$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{632}{57} санын алып тастаңыз.

$$7y=\frac{280}{57}$$

Екі жағын да 7 санына бөліңіз.

$$y=\frac{40}{57}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$y=\frac{40}{57},x=\frac{79}{57}$$