{l}{8x-9y=15}{-5x+3y=9} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x - 9 y = 15 } \\ { - 5 x + 3 y = 9 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=-6$$

$$y=-7$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$8x-9y=15,-5x+3y=9$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$8x-9y=15$$

Теңдеудің екі жағына да 9y санын қосыңыз.

$$8x=9y+15$$

Екі жағын да 8 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{8}\left(9y+15\right)$$

\frac{1}{8} санын 9y+15 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{9}{8}y+\frac{15}{8}$$

Басқа теңдеуде \frac{9y+15}{8} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, -5x+3y=9.

$$-5\left(\frac{9}{8}y+\frac{15}{8}\right)+3y=9$$

-5 санын \frac{9y+15}{8} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{45}{8}y-\frac{75}{8}+3y=9$$

-\frac{45y}{8} санын 3y санына қосу.

$$-\frac{21}{8}y-\frac{75}{8}=9$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{75}{8} санын қосыңыз.

$$-\frac{21}{8}y=\frac{147}{8}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{21}{8} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=-7$$

x=\frac{9}{8}y+\frac{15}{8} теңдеуінде -7 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{9}{8}\left(-7\right)+\frac{15}{8}$$

\frac{9}{8} санын -7 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-63+15}{8}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{15}{8} бөлшегіне -\frac{63}{8} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-6$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-6,y=-7$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$8x-9y=15,-5x+3y=9$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}8&-9\\-5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\9\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}8&-9\\-5&3\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&-9\\-5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&-9\\-5&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-9\\-5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\9\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-9\\-5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\9\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-9\\-5&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{8\times 3-\left(-9\left(-5\right)\right)}&-\frac{-9}{8\times 3-\left(-9\left(-5\right)\right)}\\-\frac{-5}{8\times 3-\left(-9\left(-5\right)\right)}&\frac{8}{8\times 3-\left(-9\left(-5\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\9\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}&-\frac{3}{7}\\-\frac{5}{21}&-\frac{8}{21}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\9\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{7}\times 15-\frac{3}{7}\times 9\\-\frac{5}{21}\times 15-\frac{8}{21}\times 9\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-6\\-7\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-6,y=-7$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$8x-9y=15,-5x+3y=9$$

8x және -5x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -5 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 8 санына көбейтіңіз.

$$-5\times 8x-5\left(-9\right)y=-5\times 15,8\left(-5\right)x+8\times 3y=8\times 9$$

Қысқартыңыз.

$$-40x+45y=-75,-40x+24y=72$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -40x+24y=72 мәнін -40x+45y=-75 мәнінен алып тастаңыз.

$$-40x+40x+45y-24y=-75-72$$

-40x санын 40x санына қосу. -40x және 40x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$45y-24y=-75-72$$

45y санын -24y санына қосу.

$$21y=-75-72$$

-75 санын -72 санына қосу.

$$21y=-147$$

Екі жағын да 21 санына бөліңіз.

$$y=-7$$

-5x+3y=9 теңдеуінде -7 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$-5x+3\left(-7\right)=9$$

3 санын -7 санына көбейтіңіз.

$$-5x-21=9$$

Теңдеудің екі жағына да 21 санын қосыңыз.

$$-5x=30$$

Екі жағын да -5 санына бөліңіз.

$$x=-6$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-6,y=-7$$