{l}{8x-5y=10}{6x-4y=11} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x - 5 y = 10 } \\ { 6 x - 4 y = 11 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = -\frac{15}{2} = -7\frac{1}{2} = -7.5$$

$$y=-14$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$8x-5y=10,6x-4y=11$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$8x-5y=10$$

Теңдеудің екі жағына да 5y санын қосыңыз.

$$8x=5y+10$$

Екі жағын да 8 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{8}\left(5y+10\right)$$

\frac{1}{8} санын 10+5y санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{5}{8}y+\frac{5}{4}$$

Басқа теңдеуде \frac{5}{4}+\frac{5y}{8} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 6x-4y=11.

$$6\left(\frac{5}{8}y+\frac{5}{4}\right)-4y=11$$

6 санын \frac{5}{4}+\frac{5y}{8} санына көбейтіңіз.

$$\frac{15}{4}y+\frac{15}{2}-4y=11$$

\frac{15y}{4} санын -4y санына қосу.

$$-\frac{1}{4}y+\frac{15}{2}=11$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{15}{2} санын алып тастаңыз.

$$-\frac{1}{4}y=\frac{7}{2}$$

Екі жағын да -4 мәніне көбейтіңіз.

$$y=-14$$

x=\frac{5}{8}y+\frac{5}{4} теңдеуінде -14 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{5}{8}\left(-14\right)+\frac{5}{4}$$

\frac{5}{8} санын -14 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-35+5}{4}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{5}{4} бөлшегіне -\frac{35}{4} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{15}{2}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{15}{2},y=-14$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$8x-5y=10,6x-4y=11$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-5\\6&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{8\left(-4\right)-\left(-5\times 6\right)}&-\frac{-5}{8\left(-4\right)-\left(-5\times 6\right)}\\-\frac{6}{8\left(-4\right)-\left(-5\times 6\right)}&\frac{8}{8\left(-4\right)-\left(-5\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&-\frac{5}{2}\\3&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\11\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 10-\frac{5}{2}\times 11\\3\times 10-4\times 11\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{15}{2}\\-14\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-\frac{15}{2},y=-14$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$8x-5y=10,6x-4y=11$$

8x және 6x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 6 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 8 санына көбейтіңіз.

$$6\times 8x+6\left(-5\right)y=6\times 10,8\times 6x+8\left(-4\right)y=8\times 11$$

Қысқартыңыз.

$$48x-30y=60,48x-32y=88$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 48x-32y=88 мәнін 48x-30y=60 мәнінен алып тастаңыз.

$$48x-48x-30y+32y=60-88$$

48x санын -48x санына қосу. 48x және -48x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-30y+32y=60-88$$

-30y санын 32y санына қосу.

$$2y=60-88$$

60 санын -88 санына қосу.

$$2y=-28$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$y=-14$$

6x-4y=11 теңдеуінде -14 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$6x-4\left(-14\right)=11$$

-4 санын -14 санына көбейтіңіз.

$$6x+56=11$$

Теңдеудің екі жағынан 56 санын алып тастаңыз.

$$6x=-45$$

Екі жағын да 6 санына бөліңіз.

$$x=-\frac{15}{2}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{15}{2},y=-14$$