{l}{8x-2y=-25}{-x-5y=-17} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 8 x - 2 y = - 25 } \\ { - x - 5 y = - 17 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = -\frac{13}{6} = -2\frac{1}{6} \approx -2.166666667$$

$$y = \frac{23}{6} = 3\frac{5}{6} \approx 3.833333333$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$8x-2y=-25,-x-5y=-17$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$8x-2y=-25$$

Теңдеудің екі жағына да 2y санын қосыңыз.

$$8x=2y-25$$

Екі жағын да 8 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{8}\left(2y-25\right)$$

\frac{1}{8} санын 2y-25 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{1}{4}y-\frac{25}{8}$$

Басқа теңдеуде \frac{y}{4}-\frac{25}{8} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, -x-5y=-17.

$$-\left(\frac{1}{4}y-\frac{25}{8}\right)-5y=-17$$

-1 санын \frac{y}{4}-\frac{25}{8} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{1}{4}y+\frac{25}{8}-5y=-17$$

-\frac{y}{4} санын -5y санына қосу.

$$-\frac{21}{4}y+\frac{25}{8}=-17$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{25}{8} санын алып тастаңыз.

$$-\frac{21}{4}y=-\frac{161}{8}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{21}{4} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=\frac{23}{6}$$

x=\frac{1}{4}y-\frac{25}{8} теңдеуінде \frac{23}{6} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{1}{4}\times \frac{23}{6}-\frac{25}{8}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{23}{6} санын \frac{1}{4} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{23}{24}-\frac{25}{8}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы -\frac{25}{8} бөлшегіне \frac{23}{24} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{13}{6}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{13}{6},y=\frac{23}{6}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$8x-2y=-25,-x-5y=-17$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}8&-2\\-1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-25\\-17\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}8&-2\\-1&-5\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&-2\\-1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&-2\\-1&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-2\\-1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-25\\-17\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-2\\-1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-25\\-17\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-2\\-1&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-25\\-17\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{8\left(-5\right)-\left(-2\left(-1\right)\right)}&-\frac{-2}{8\left(-5\right)-\left(-2\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{8\left(-5\right)-\left(-2\left(-1\right)\right)}&\frac{8}{8\left(-5\right)-\left(-2\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-25\\-17\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{42}&-\frac{1}{21}\\-\frac{1}{42}&-\frac{4}{21}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-25\\-17\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{42}\left(-25\right)-\frac{1}{21}\left(-17\right)\\-\frac{1}{42}\left(-25\right)-\frac{4}{21}\left(-17\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{6}\\\frac{23}{6}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-\frac{13}{6},y=\frac{23}{6}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$8x-2y=-25,-x-5y=-17$$

8x және -x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -1 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 8 санына көбейтіңіз.

$$-8x-\left(-2y\right)=-\left(-25\right),8\left(-1\right)x+8\left(-5\right)y=8\left(-17\right)$$

Қысқартыңыз.

$$-8x+2y=25,-8x-40y=-136$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -8x-40y=-136 мәнін -8x+2y=25 мәнінен алып тастаңыз.

$$-8x+8x+2y+40y=25+136$$

-8x санын 8x санына қосу. -8x және 8x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$2y+40y=25+136$$

2y санын 40y санына қосу.

$$42y=25+136$$

25 санын 136 санына қосу.

$$42y=161$$

Екі жағын да 42 санына бөліңіз.

$$y=\frac{23}{6}$$

-x-5y=-17 теңдеуінде \frac{23}{6} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$-x-5\times \frac{23}{6}=-17$$

-5 санын \frac{23}{6} санына көбейтіңіз.

$$-x-\frac{115}{6}=-17$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{115}{6} санын қосыңыз.

$$-x=\frac{13}{6}$$

Екі жағын да -1 санына бөліңіз.

$$x=-\frac{13}{6}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{13}{6},y=\frac{23}{6}$$