{l}{8a-b=9}{4a+9b=7} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 8 a - b = 9 } \\ { 4 a + 9 b = 7 } \end{array} \right.$$

a, b мәнін табыңыз

$$a = \frac{22}{19} = 1\frac{3}{19} \approx 1.157894737$$

$$b=\frac{5}{19}\approx 0.263157895$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$8a-b=9,4a+9b=7$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және a мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы a мәнін шешіңіз.

$$8a-b=9$$

Теңдеудің екі жағына да b санын қосыңыз.

$$8a=b+9$$

Екі жағын да 8 санына бөліңіз.

$$a=\frac{1}{8}\left(b+9\right)$$

\frac{1}{8} санын b+9 санына көбейтіңіз.

$$a=\frac{1}{8}b+\frac{9}{8}$$

Басқа теңдеуде \frac{9+b}{8} мәнін a мәнімен ауыстырыңыз, 4a+9b=7.

$$4\left(\frac{1}{8}b+\frac{9}{8}\right)+9b=7$$

4 санын \frac{9+b}{8} санына көбейтіңіз.

$$\frac{1}{2}b+\frac{9}{2}+9b=7$$

\frac{b}{2} санын 9b санына қосу.

$$\frac{19}{2}b+\frac{9}{2}=7$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{9}{2} санын алып тастаңыз.

$$\frac{19}{2}b=\frac{5}{2}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{19}{2} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$b=\frac{5}{19}$$

a=\frac{1}{8}b+\frac{9}{8} теңдеуінде \frac{5}{19} мәнін b мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, a мәнін тікелей таба аласыз.

$$a=\frac{1}{8}\times \frac{5}{19}+\frac{9}{8}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{5}{19} санын \frac{1}{8} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$a=\frac{5}{152}+\frac{9}{8}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{9}{8} бөлшегіне \frac{5}{152} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$a=\frac{22}{19}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$a=\frac{22}{19},b=\frac{5}{19}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$8a-b=9,4a+9b=7$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}8&-1\\4&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}8&-1\\4&9\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}8&-1\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8&-1\\4&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-1\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-1\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}8&-1\\4&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{8\times 9-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{8\times 9-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{8\times 9-\left(-4\right)}&\frac{8}{8\times 9-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{76}&\frac{1}{76}\\-\frac{1}{19}&\frac{2}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\7\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{76}\times 9+\frac{1}{76}\times 7\\-\frac{1}{19}\times 9+\frac{2}{19}\times 7\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{19}\\\frac{5}{19}\end{matrix}\right)$$

a және b матрица элементтерін шығарыңыз.

$$a=\frac{22}{19},b=\frac{5}{19}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$8a-b=9,4a+9b=7$$

8a және 4a мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 4 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 8 санына көбейтіңіз.

$$4\times 8a+4\left(-1\right)b=4\times 9,8\times 4a+8\times 9b=8\times 7$$

Қысқартыңыз.

$$32a-4b=36,32a+72b=56$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 32a+72b=56 мәнін 32a-4b=36 мәнінен алып тастаңыз.

$$32a-32a-4b-72b=36-56$$

32a санын -32a санына қосу. 32a және -32a мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-4b-72b=36-56$$

-4b санын -72b санына қосу.

$$-76b=36-56$$

36 санын -56 санына қосу.

$$-76b=-20$$

Екі жағын да -76 санына бөліңіз.

$$b=\frac{5}{19}$$

4a+9b=7 теңдеуінде \frac{5}{19} мәнін b мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, a мәнін тікелей таба аласыз.

$$4a+9\times \frac{5}{19}=7$$

9 санын \frac{5}{19} санына көбейтіңіз.

$$4a+\frac{45}{19}=7$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{45}{19} санын алып тастаңыз.

$$4a=\frac{88}{19}$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$a=\frac{22}{19}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$a=\frac{22}{19},b=\frac{5}{19}$$