{l}{73x-7y=66}{18x+98y=25} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 73 x - 7 y = 66 } \\ { 18 x + 98 y = 25 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=\frac{73}{80}=0.9125$$

$$y=\frac{7}{80}=0.0875$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$73x-7y=66,18x+98y=25$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$73x-7y=66$$

Теңдеудің екі жағына да 7y санын қосыңыз.

$$73x=7y+66$$

Екі жағын да 73 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{73}\left(7y+66\right)$$

\frac{1}{73} санын 7y+66 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{7}{73}y+\frac{66}{73}$$

Басқа теңдеуде \frac{7y+66}{73} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 18x+98y=25.

$$18\left(\frac{7}{73}y+\frac{66}{73}\right)+98y=25$$

18 санын \frac{7y+66}{73} санына көбейтіңіз.

$$\frac{126}{73}y+\frac{1188}{73}+98y=25$$

\frac{126y}{73} санын 98y санына қосу.

$$\frac{7280}{73}y+\frac{1188}{73}=25$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{1188}{73} санын алып тастаңыз.

$$\frac{7280}{73}y=\frac{637}{73}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{7280}{73} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=\frac{7}{80}$$

x=\frac{7}{73}y+\frac{66}{73} теңдеуінде \frac{7}{80} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{7}{73}\times \frac{7}{80}+\frac{66}{73}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{7}{80} санын \frac{7}{73} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{49}{5840}+\frac{66}{73}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{66}{73} бөлшегіне \frac{49}{5840} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{73}{80}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{73}{80},y=\frac{7}{80}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$73x-7y=66,18x+98y=25$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}73&-7\\18&98\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}66\\25\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}73&-7\\18&98\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}73&-7\\18&98\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}73&-7\\18&98\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}73&-7\\18&98\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}66\\25\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}73&-7\\18&98\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}66\\25\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}73&-7\\18&98\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}66\\25\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{98}{73\times 98-\left(-7\times 18\right)}&-\frac{-7}{73\times 98-\left(-7\times 18\right)}\\-\frac{18}{73\times 98-\left(-7\times 18\right)}&\frac{73}{73\times 98-\left(-7\times 18\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}66\\25\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{520}&\frac{1}{1040}\\-\frac{9}{3640}&\frac{73}{7280}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}66\\25\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{520}\times 66+\frac{1}{1040}\times 25\\-\frac{9}{3640}\times 66+\frac{73}{7280}\times 25\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{73}{80}\\\frac{7}{80}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{73}{80},y=\frac{7}{80}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$73x-7y=66,18x+98y=25$$

73x және 18x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 18 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 73 санына көбейтіңіз.

$$18\times 73x+18\left(-7\right)y=18\times 66,73\times 18x+73\times 98y=73\times 25$$

Қысқартыңыз.

$$1314x-126y=1188,1314x+7154y=1825$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 1314x+7154y=1825 мәнін 1314x-126y=1188 мәнінен алып тастаңыз.

$$1314x-1314x-126y-7154y=1188-1825$$

1314x санын -1314x санына қосу. 1314x және -1314x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-126y-7154y=1188-1825$$

-126y санын -7154y санына қосу.

$$-7280y=1188-1825$$

1188 санын -1825 санына қосу.

$$-7280y=-637$$

Екі жағын да -7280 санына бөліңіз.

$$y=\frac{7}{80}$$

18x+98y=25 теңдеуінде \frac{7}{80} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$18x+98\times \frac{7}{80}=25$$

98 санын \frac{7}{80} санына көбейтіңіз.

$$18x+\frac{343}{40}=25$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{343}{40} санын алып тастаңыз.

$$18x=\frac{657}{40}$$

Екі жағын да 18 санына бөліңіз.

$$x=\frac{73}{80}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{73}{80},y=\frac{7}{80}$$