{l}{7x-y=5}{1/7x+y=38/7} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x - y = 5 } \\ { \frac { 1 } { 7 } x + y = \frac { 38 } { 7 } } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{73}{50} = 1\frac{23}{50} = 1.46$$

$$y = \frac{261}{50} = 5\frac{11}{50} = 5.22$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$7x-y=5,\frac{1}{7}x+y=\frac{38}{7}$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$7x-y=5$$

Теңдеудің екі жағына да y санын қосыңыз.

$$7x=y+5$$

Екі жағын да 7 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{7}\left(y+5\right)$$

\frac{1}{7} санын y+5 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{1}{7}y+\frac{5}{7}$$

Басқа теңдеуде \frac{5+y}{7} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, \frac{1}{7}x+y=\frac{38}{7}.

$$\frac{1}{7}\left(\frac{1}{7}y+\frac{5}{7}\right)+y=\frac{38}{7}$$

\frac{1}{7} санын \frac{5+y}{7} санына көбейтіңіз.

$$\frac{1}{49}y+\frac{5}{49}+y=\frac{38}{7}$$

\frac{y}{49} санын y санына қосу.

$$\frac{50}{49}y+\frac{5}{49}=\frac{38}{7}$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{5}{49} санын алып тастаңыз.

$$\frac{50}{49}y=\frac{261}{49}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{50}{49} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=\frac{261}{50}$$

x=\frac{1}{7}y+\frac{5}{7} теңдеуінде \frac{261}{50} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{1}{7}\times \frac{261}{50}+\frac{5}{7}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{261}{50} санын \frac{1}{7} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{261}{350}+\frac{5}{7}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{5}{7} бөлшегіне \frac{261}{350} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{73}{50}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{73}{50},y=\frac{261}{50}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$7x-y=5,\frac{1}{7}x+y=\frac{38}{7}$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}7&-1\\\frac{1}{7}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\\frac{38}{7}\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}7&-1\\\frac{1}{7}&1\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\\frac{1}{7}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-1\\\frac{1}{7}&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\\frac{1}{7}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\\frac{38}{7}\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\\frac{1}{7}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\\frac{38}{7}\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-1\\\frac{1}{7}&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\\frac{38}{7}\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7-\left(-\frac{1}{7}\right)}&-\frac{-1}{7-\left(-\frac{1}{7}\right)}\\-\frac{\frac{1}{7}}{7-\left(-\frac{1}{7}\right)}&\frac{7}{7-\left(-\frac{1}{7}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\\frac{38}{7}\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{50}&\frac{7}{50}\\-\frac{1}{50}&\frac{49}{50}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\\frac{38}{7}\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{50}\times 5+\frac{7}{50}\times \frac{38}{7}\\-\frac{1}{50}\times 5+\frac{49}{50}\times \frac{38}{7}\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{73}{50}\\\frac{261}{50}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{73}{50},y=\frac{261}{50}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$7x-y=5,\frac{1}{7}x+y=\frac{38}{7}$$

7x және \frac{x}{7} мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді \frac{1}{7} санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 7 санына көбейтіңіз.

$$\frac{1}{7}\times 7x+\frac{1}{7}\left(-1\right)y=\frac{1}{7}\times 5,7\times \frac{1}{7}x+7y=7\times \frac{38}{7}$$

Қысқартыңыз.

$$x-\frac{1}{7}y=\frac{5}{7},x+7y=38$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы x+7y=38 мәнін x-\frac{1}{7}y=\frac{5}{7} мәнінен алып тастаңыз.

$$x-x-\frac{1}{7}y-7y=\frac{5}{7}-38$$

x санын -x санына қосу. x және -x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-\frac{1}{7}y-7y=\frac{5}{7}-38$$

-\frac{y}{7} санын -7y санына қосу.

$$-\frac{50}{7}y=\frac{5}{7}-38$$

\frac{5}{7} санын -38 санына қосу.

$$-\frac{50}{7}y=-\frac{261}{7}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{50}{7} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=\frac{261}{50}$$

\frac{1}{7}x+y=\frac{38}{7} теңдеуінде \frac{261}{50} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$\frac{1}{7}x+\frac{261}{50}=\frac{38}{7}$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{261}{50} санын алып тастаңыз.

$$\frac{1}{7}x=\frac{73}{350}$$

Екі жағын да 7 мәніне көбейтіңіз.

$$x=\frac{73}{50}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{73}{50},y=\frac{261}{50}$$