{l}{7x-2y=11}{x+y=8} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x - 2 y = 11 } \\ { x + y = 8 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=3$$

$$y=5$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$7x-2y=11,x+y=8$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$7x-2y=11$$

Теңдеудің екі жағына да 2y санын қосыңыз.

$$7x=2y+11$$

Екі жағын да 7 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{7}\left(2y+11\right)$$

\frac{1}{7} санын 2y+11 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{2}{7}y+\frac{11}{7}$$

Басқа теңдеуде \frac{2y+11}{7} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, x+y=8.

$$\frac{2}{7}y+\frac{11}{7}+y=8$$

\frac{2y}{7} санын y санына қосу.

$$\frac{9}{7}y+\frac{11}{7}=8$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{11}{7} санын алып тастаңыз.

$$\frac{9}{7}y=\frac{45}{7}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{9}{7} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=5$$

x=\frac{2}{7}y+\frac{11}{7} теңдеуінде 5 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{2}{7}\times 5+\frac{11}{7}$$

\frac{2}{7} санын 5 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{10+11}{7}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{11}{7} бөлшегіне \frac{10}{7} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=3$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=3,y=5$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$7x-2y=11,x+y=8$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}7&-2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}11\\8\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}7&-2\\1&1\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&-2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\8\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\8\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{7-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{7-\left(-2\right)}&\frac{7}{7-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\8\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&\frac{2}{9}\\-\frac{1}{9}&\frac{7}{9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}11\\8\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\times 11+\frac{2}{9}\times 8\\-\frac{1}{9}\times 11+\frac{7}{9}\times 8\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=3,y=5$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$7x-2y=11,x+y=8$$

7x және x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 7 санына көбейтіңіз.

$$7x-2y=11,7x+7y=7\times 8$$

Қысқартыңыз.

$$7x-2y=11,7x+7y=56$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 7x+7y=56 мәнін 7x-2y=11 мәнінен алып тастаңыз.

$$7x-7x-2y-7y=11-56$$

7x санын -7x санына қосу. 7x және -7x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-2y-7y=11-56$$

-2y санын -7y санына қосу.

$$-9y=11-56$$

11 санын -56 санына қосу.

$$-9y=-45$$

Екі жағын да -9 санына бөліңіз.

$$y=5$$

x+y=8 теңдеуінде 5 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x+5=8$$

Теңдеудің екі жағынан 5 санын алып тастаңыз.

$$x=3$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=3,y=5$$