{l}{7x+8y=30}{8x-5y=6} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 8 y = 30 } \\ { 8 x - 5 y = 6 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=2$$

$$y=2$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$7x+8y=30,8x-5y=6$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$7x+8y=30$$

Теңдеудің екі жағынан 8y санын алып тастаңыз.

$$7x=-8y+30$$

Екі жағын да 7 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{7}\left(-8y+30\right)$$

\frac{1}{7} санын -8y+30 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{8}{7}y+\frac{30}{7}$$

Басқа теңдеуде \frac{-8y+30}{7} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 8x-5y=6.

$$8\left(-\frac{8}{7}y+\frac{30}{7}\right)-5y=6$$

8 санын \frac{-8y+30}{7} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{64}{7}y+\frac{240}{7}-5y=6$$

-\frac{64y}{7} санын -5y санына қосу.

$$-\frac{99}{7}y+\frac{240}{7}=6$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{240}{7} санын алып тастаңыз.

$$-\frac{99}{7}y=-\frac{198}{7}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{99}{7} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=2$$

x=-\frac{8}{7}y+\frac{30}{7} теңдеуінде 2 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{8}{7}\times 2+\frac{30}{7}$$

-\frac{8}{7} санын 2 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-16+30}{7}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{30}{7} бөлшегіне -\frac{16}{7} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=2$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=2,y=2$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$7x+8y=30,8x-5y=6$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}7&8\\8&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}30\\6\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}7&8\\8&-5\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\8&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&8\\8&-5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\8&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\6\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\8&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\6\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\8&-5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}30\\6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{5}{7\left(-5\right)-8\times 8}&-\frac{8}{7\left(-5\right)-8\times 8}\\-\frac{8}{7\left(-5\right)-8\times 8}&\frac{7}{7\left(-5\right)-8\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\6\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{99}&\frac{8}{99}\\\frac{8}{99}&-\frac{7}{99}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}30\\6\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{99}\times 30+\frac{8}{99}\times 6\\\frac{8}{99}\times 30-\frac{7}{99}\times 6\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\2\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=2,y=2$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$7x+8y=30,8x-5y=6$$

7x және 8x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 8 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 7 санына көбейтіңіз.

$$8\times 7x+8\times 8y=8\times 30,7\times 8x+7\left(-5\right)y=7\times 6$$

Қысқартыңыз.

$$56x+64y=240,56x-35y=42$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 56x-35y=42 мәнін 56x+64y=240 мәнінен алып тастаңыз.

$$56x-56x+64y+35y=240-42$$

56x санын -56x санына қосу. 56x және -56x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$64y+35y=240-42$$

64y санын 35y санына қосу.

$$99y=240-42$$

240 санын -42 санына қосу.

$$99y=198$$

Екі жағын да 99 санына бөліңіз.

$$y=2$$

8x-5y=6 теңдеуінде 2 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$8x-5\times 2=6$$

-5 санын 2 санына көбейтіңіз.

$$8x-10=6$$

Теңдеудің екі жағына да 10 санын қосыңыз.

$$8x=16$$

Екі жағын да 8 санына бөліңіз.

$$x=2$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=2,y=2$$