{l}{7x+8y=15}{9x+8y=1} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 8 y = 15 } \\ { 9 x + 8 y = 1 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=-7$$

$$y=8$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$7x+8y=15,9x+8y=1$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$7x+8y=15$$

Теңдеудің екі жағынан 8y санын алып тастаңыз.

$$7x=-8y+15$$

Екі жағын да 7 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{7}\left(-8y+15\right)$$

\frac{1}{7} санын -8y+15 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{8}{7}y+\frac{15}{7}$$

Басқа теңдеуде \frac{-8y+15}{7} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 9x+8y=1.

$$9\left(-\frac{8}{7}y+\frac{15}{7}\right)+8y=1$$

9 санын \frac{-8y+15}{7} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{72}{7}y+\frac{135}{7}+8y=1$$

-\frac{72y}{7} санын 8y санына қосу.

$$-\frac{16}{7}y+\frac{135}{7}=1$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{135}{7} санын алып тастаңыз.

$$-\frac{16}{7}y=-\frac{128}{7}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{16}{7} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=8$$

x=-\frac{8}{7}y+\frac{15}{7} теңдеуінде 8 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{8}{7}\times 8+\frac{15}{7}$$

-\frac{8}{7} санын 8 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-64+15}{7}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{15}{7} бөлшегіне -\frac{64}{7} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-7$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-7,y=8$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$7x+8y=15,9x+8y=1$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&8\\9&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{7\times 8-8\times 9}&-\frac{8}{7\times 8-8\times 9}\\-\frac{9}{7\times 8-8\times 9}&\frac{7}{7\times 8-8\times 9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{9}{16}&-\frac{7}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}15\\1\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 15+\frac{1}{2}\\\frac{9}{16}\times 15-\frac{7}{16}\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\8\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-7,y=8$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$7x+8y=15,9x+8y=1$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 9x+8y=1 мәнін 7x+8y=15 мәнінен алып тастаңыз.

$$7x-9x+8y-8y=15-1$$

8y санын -8y санына қосу. 8y және -8y мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$7x-9x=15-1$$

7x санын -9x санына қосу.

$$-2x=15-1$$

15 санын -1 санына қосу.

$$-2x=14$$

Екі жағын да -2 санына бөліңіз.

$$x=-7$$

9x+8y=1 теңдеуінде -7 мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$9\left(-7\right)+8y=1$$

9 санын -7 санына көбейтіңіз.

$$-63+8y=1$$

Теңдеудің екі жағына да 63 санын қосыңыз.

$$8y=64$$

Екі жағын да 8 санына бөліңіз.

$$y=8$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-7,y=8$$