{l}{7x+6y=18}{x=4-y/2} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 6 y = 18 } \\ { x = 4 - \frac { y } { 2 } } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=6$$

$$y=-4$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағына \frac{y}{2} қосу.

$$x+\frac{y}{2}=4$$

Теңдеудің екі жағын да 2 мәніне көбейтіңіз.

$$2x+y=8$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$7x+6y=18,2x+y=8$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$7x+6y=18$$

Теңдеудің екі жағынан 6y санын алып тастаңыз.

$$7x=-6y+18$$

Екі жағын да 7 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{7}\left(-6y+18\right)$$

\frac{1}{7} санын -6y+18 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{6}{7}y+\frac{18}{7}$$

Басқа теңдеуде \frac{-6y+18}{7} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 2x+y=8.

$$2\left(-\frac{6}{7}y+\frac{18}{7}\right)+y=8$$

2 санын \frac{-6y+18}{7} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{12}{7}y+\frac{36}{7}+y=8$$

-\frac{12y}{7} санын y санына қосу.

$$-\frac{5}{7}y+\frac{36}{7}=8$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{36}{7} санын алып тастаңыз.

$$-\frac{5}{7}y=\frac{20}{7}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{5}{7} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=-4$$

x=-\frac{6}{7}y+\frac{18}{7} теңдеуінде -4 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{6}{7}\left(-4\right)+\frac{18}{7}$$

-\frac{6}{7} санын -4 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{24+18}{7}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{18}{7} бөлшегіне \frac{24}{7} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=6$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=6,y=-4$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағына \frac{y}{2} қосу.

$$x+\frac{y}{2}=4$$

Теңдеудің екі жағын да 2 мәніне көбейтіңіз.

$$2x+y=8$$

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$7x+6y=18,2x+y=8$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}7&6\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}18\\8\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}7&6\\2&1\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&6\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&6\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&6\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\8\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&6\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\8\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&6\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}18\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7-6\times 2}&-\frac{6}{7-6\times 2}\\-\frac{2}{7-6\times 2}&\frac{7}{7-6\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\8\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{6}{5}\\\frac{2}{5}&-\frac{7}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}18\\8\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}\times 18+\frac{6}{5}\times 8\\\frac{2}{5}\times 18-\frac{7}{5}\times 8\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-4\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=6,y=-4$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағына \frac{y}{2} қосу.

$$x+\frac{y}{2}=4$$

Теңдеудің екі жағын да 2 мәніне көбейтіңіз.

$$2x+y=8$$

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$7x+6y=18,2x+y=8$$

7x және 2x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 7 санына көбейтіңіз.

$$2\times 7x+2\times 6y=2\times 18,7\times 2x+7y=7\times 8$$

Қысқартыңыз.

$$14x+12y=36,14x+7y=56$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 14x+7y=56 мәнін 14x+12y=36 мәнінен алып тастаңыз.

$$14x-14x+12y-7y=36-56$$

14x санын -14x санына қосу. 14x және -14x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$12y-7y=36-56$$

12y санын -7y санына қосу.

$$5y=36-56$$

36 санын -56 санына қосу.

$$5y=-20$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$y=-4$$

2x+y=8 теңдеуінде -4 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$2x-4=8$$

Теңдеудің екі жағына да 4 санын қосыңыз.

$$2x=12$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=6$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=6,y=-4$$