{l}{7x+5y=12}{8x-2y=7} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 5 y = 12 } \\ { 8 x - 2 y = 7 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{59}{54} = 1\frac{5}{54} \approx 1.092592593$$

$$y=\frac{47}{54}\approx 0.87037037$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$7x+5y=12,8x-2y=7$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$7x+5y=12$$

Теңдеудің екі жағынан 5y санын алып тастаңыз.

$$7x=-5y+12$$

Екі жағын да 7 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{7}\left(-5y+12\right)$$

\frac{1}{7} санын -5y+12 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{5}{7}y+\frac{12}{7}$$

Басқа теңдеуде \frac{-5y+12}{7} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 8x-2y=7.

$$8\left(-\frac{5}{7}y+\frac{12}{7}\right)-2y=7$$

8 санын \frac{-5y+12}{7} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{40}{7}y+\frac{96}{7}-2y=7$$

-\frac{40y}{7} санын -2y санына қосу.

$$-\frac{54}{7}y+\frac{96}{7}=7$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{96}{7} санын алып тастаңыз.

$$-\frac{54}{7}y=-\frac{47}{7}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{54}{7} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=\frac{47}{54}$$

x=-\frac{5}{7}y+\frac{12}{7} теңдеуінде \frac{47}{54} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{5}{7}\times \frac{47}{54}+\frac{12}{7}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{47}{54} санын -\frac{5}{7} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{235}{378}+\frac{12}{7}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{12}{7} бөлшегіне -\frac{235}{378} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{59}{54}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{59}{54},y=\frac{47}{54}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$7x+5y=12,8x-2y=7$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&5\\8&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 матрицасы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7\left(-2\right)-5\times 8}&-\frac{5}{7\left(-2\right)-5\times 8}\\-\frac{8}{7\left(-2\right)-5\times 8}&\frac{7}{7\left(-2\right)-5\times 8}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{27}&\frac{5}{54}\\\frac{4}{27}&-\frac{7}{54}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\7\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{27}\times 12+\frac{5}{54}\times 7\\\frac{4}{27}\times 12-\frac{7}{54}\times 7\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{59}{54}\\\frac{47}{54}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{59}{54},y=\frac{47}{54}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$7x+5y=12,8x-2y=7$$

7x және 8x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 8 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 7 санына көбейтіңіз.

$$8\times 7x+8\times 5y=8\times 12,7\times 8x+7\left(-2\right)y=7\times 7$$

Қысқартыңыз.

$$56x+40y=96,56x-14y=49$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 56x-14y=49 мәнін 56x+40y=96 мәнінен алып тастаңыз.

$$56x-56x+40y+14y=96-49$$

56x санын -56x санына қосу. 56x және -56x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$40y+14y=96-49$$

40y санын 14y санына қосу.

$$54y=96-49$$

96 санын -49 санына қосу.

$$54y=47$$

Екі жағын да 54 санына бөліңіз.

$$y=\frac{47}{54}$$

8x-2y=7 теңдеуінде \frac{47}{54} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$8x-2\times \frac{47}{54}=7$$

-2 санын \frac{47}{54} санына көбейтіңіз.

$$8x-\frac{47}{27}=7$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{47}{27} санын қосыңыз.

$$8x=\frac{236}{27}$$

Екі жағын да 8 санына бөліңіз.

$$x=\frac{59}{54}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{59}{54},y=\frac{47}{54}$$