{l}{7x+4y=52}{4x-4y=-8} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 4 y = 52 } \\ { 4 x - 4 y = - 8 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=4$$

$$y=6$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$7x+4y=52,4x-4y=-8$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$7x+4y=52$$

Теңдеудің екі жағынан 4y санын алып тастаңыз.

$$7x=-4y+52$$

Екі жағын да 7 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{7}\left(-4y+52\right)$$

\frac{1}{7} санын -4y+52 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{4}{7}y+\frac{52}{7}$$

Басқа теңдеуде \frac{-4y+52}{7} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 4x-4y=-8.

$$4\left(-\frac{4}{7}y+\frac{52}{7}\right)-4y=-8$$

4 санын \frac{-4y+52}{7} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{16}{7}y+\frac{208}{7}-4y=-8$$

-\frac{16y}{7} санын -4y санына қосу.

$$-\frac{44}{7}y+\frac{208}{7}=-8$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{208}{7} санын алып тастаңыз.

$$-\frac{44}{7}y=-\frac{264}{7}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{44}{7} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=6$$

x=-\frac{4}{7}y+\frac{52}{7} теңдеуінде 6 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{4}{7}\times 6+\frac{52}{7}$$

-\frac{4}{7} санын 6 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-24+52}{7}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{52}{7} бөлшегіне -\frac{24}{7} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=4$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=4,y=6$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$7x+4y=52,4x-4y=-8$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}7&4\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}52\\-8\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}7&4\\4&-4\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&4\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&4\\4&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&4\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}52\\-8\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&4\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}52\\-8\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&4\\4&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}52\\-8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 матрицасы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{7\left(-4\right)-4\times 4}&-\frac{4}{7\left(-4\right)-4\times 4}\\-\frac{4}{7\left(-4\right)-4\times 4}&\frac{7}{7\left(-4\right)-4\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}52\\-8\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}&\frac{1}{11}\\\frac{1}{11}&-\frac{7}{44}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}52\\-8\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{11}\times 52+\frac{1}{11}\left(-8\right)\\\frac{1}{11}\times 52-\frac{7}{44}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\6\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=4,y=6$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$7x+4y=52,4x-4y=-8$$

7x және 4x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 4 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 7 санына көбейтіңіз.

$$4\times 7x+4\times 4y=4\times 52,7\times 4x+7\left(-4\right)y=7\left(-8\right)$$

Қысқартыңыз.

$$28x+16y=208,28x-28y=-56$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 28x-28y=-56 мәнін 28x+16y=208 мәнінен алып тастаңыз.

$$28x-28x+16y+28y=208+56$$

28x санын -28x санына қосу. 28x және -28x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$16y+28y=208+56$$

16y санын 28y санына қосу.

$$44y=208+56$$

208 санын 56 санына қосу.

$$44y=264$$

Екі жағын да 44 санына бөліңіз.

$$y=6$$

4x-4y=-8 теңдеуінде 6 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$4x-4\times 6=-8$$

-4 санын 6 санына көбейтіңіз.

$$4x-24=-8$$

Теңдеудің екі жағына да 24 санын қосыңыз.

$$4x=16$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$x=4$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=4,y=6$$