{l}{7x+3y=4}{2x+4y=8} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 7 x + 3 y = 4 } \\ { 2 x + 4 y = 8 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=-\frac{4}{11}\approx -0.363636364$$

$$y = \frac{24}{11} = 2\frac{2}{11} \approx 2.181818182$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$7x+3y=4,2x+4y=8$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$7x+3y=4$$

Теңдеудің екі жағынан 3y санын алып тастаңыз.

$$7x=-3y+4$$

Екі жағын да 7 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{7}\left(-3y+4\right)$$

\frac{1}{7} санын -3y+4 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{3}{7}y+\frac{4}{7}$$

Басқа теңдеуде \frac{-3y+4}{7} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 2x+4y=8.

$$2\left(-\frac{3}{7}y+\frac{4}{7}\right)+4y=8$$

2 санын \frac{-3y+4}{7} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{6}{7}y+\frac{8}{7}+4y=8$$

-\frac{6y}{7} санын 4y санына қосу.

$$\frac{22}{7}y+\frac{8}{7}=8$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{8}{7} санын алып тастаңыз.

$$\frac{22}{7}y=\frac{48}{7}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{22}{7} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=\frac{24}{11}$$

x=-\frac{3}{7}y+\frac{4}{7} теңдеуінде \frac{24}{11} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{3}{7}\times \frac{24}{11}+\frac{4}{7}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{24}{11} санын -\frac{3}{7} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{72}{77}+\frac{4}{7}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{4}{7} бөлшегіне -\frac{72}{77} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{4}{11}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{4}{11},y=\frac{24}{11}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$7x+3y=4,2x+4y=8$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}7&3\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}7&3\\2&4\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&3\\2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&3\\2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{7\times 4-3\times 2}&-\frac{3}{7\times 4-3\times 2}\\-\frac{2}{7\times 4-3\times 2}&\frac{7}{7\times 4-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&-\frac{3}{22}\\-\frac{1}{11}&\frac{7}{22}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\times 4-\frac{3}{22}\times 8\\-\frac{1}{11}\times 4+\frac{7}{22}\times 8\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{11}\\\frac{24}{11}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-\frac{4}{11},y=\frac{24}{11}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$7x+3y=4,2x+4y=8$$

7x және 2x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 7 санына көбейтіңіз.

$$2\times 7x+2\times 3y=2\times 4,7\times 2x+7\times 4y=7\times 8$$

Қысқартыңыз.

$$14x+6y=8,14x+28y=56$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 14x+28y=56 мәнін 14x+6y=8 мәнінен алып тастаңыз.

$$14x-14x+6y-28y=8-56$$

14x санын -14x санына қосу. 14x және -14x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$6y-28y=8-56$$

6y санын -28y санына қосу.

$$-22y=8-56$$

8 санын -56 санына қосу.

$$-22y=-48$$

Екі жағын да -22 санына бөліңіз.

$$y=\frac{24}{11}$$

2x+4y=8 теңдеуінде \frac{24}{11} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$2x+4\times \frac{24}{11}=8$$

4 санын \frac{24}{11} санына көбейтіңіз.

$$2x+\frac{96}{11}=8$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{96}{11} санын алып тастаңыз.

$$2x=-\frac{8}{11}$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=-\frac{4}{11}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{4}{11},y=\frac{24}{11}$$