{l}{7w+2z=16}{5w=2z+8} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 7 w + 2 z = 16 } \\ { 5 w = 2 z + 8 } \end{array} \right.$$

w, z мәнін табыңыз

$$z=1$$

$$w=2$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 2z мәнін қысқартыңыз.

$$5w-2z=8$$

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$7w+2z=16,5w-2z=8$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және w мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы w мәнін шешіңіз.

$$7w+2z=16$$

Теңдеудің екі жағынан 2z санын алып тастаңыз.

$$7w=-2z+16$$

Екі жағын да 7 санына бөліңіз.

$$w=\frac{1}{7}\left(-2z+16\right)$$

\frac{1}{7} санын -2z+16 санына көбейтіңіз.

$$w=-\frac{2}{7}z+\frac{16}{7}$$

Басқа теңдеуде \frac{-2z+16}{7} мәнін w мәнімен ауыстырыңыз, 5w-2z=8.

$$5\left(-\frac{2}{7}z+\frac{16}{7}\right)-2z=8$$

5 санын \frac{-2z+16}{7} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{10}{7}z+\frac{80}{7}-2z=8$$

-\frac{10z}{7} санын -2z санына қосу.

$$-\frac{24}{7}z+\frac{80}{7}=8$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{80}{7} санын алып тастаңыз.

$$-\frac{24}{7}z=-\frac{24}{7}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{24}{7} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$z=1$$

w=-\frac{2}{7}z+\frac{16}{7} теңдеуінде 1 мәнін z мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, w мәнін тікелей таба аласыз.

$$w=\frac{-2+16}{7}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{16}{7} бөлшегіне -\frac{2}{7} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$w=2$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$w=2,z=1$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 2z мәнін қысқартыңыз.

$$5w-2z=8$$

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$7w+2z=16,5w-2z=8$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}7&2\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{7\left(-2\right)-2\times 5}&-\frac{2}{7\left(-2\right)-2\times 5}\\-\frac{5}{7\left(-2\right)-2\times 5}&\frac{7}{7\left(-2\right)-2\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}&\frac{1}{12}\\\frac{5}{24}&-\frac{7}{24}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}16\\8\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{12}\times 16+\frac{1}{12}\times 8\\\frac{5}{24}\times 16-\frac{7}{24}\times 8\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}w\\z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\1\end{matrix}\right)$$

w және z матрица элементтерін шығарыңыз.

$$w=2,z=1$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Екінші теңдеуді шешіңіз. Екі жағынан да 2z мәнін қысқартыңыз.

$$5w-2z=8$$

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$7w+2z=16,5w-2z=8$$

7w және 5w мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 5 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 7 санына көбейтіңіз.

$$5\times 7w+5\times 2z=5\times 16,7\times 5w+7\left(-2\right)z=7\times 8$$

Қысқартыңыз.

$$35w+10z=80,35w-14z=56$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 35w-14z=56 мәнін 35w+10z=80 мәнінен алып тастаңыз.

$$35w-35w+10z+14z=80-56$$

35w санын -35w санына қосу. 35w және -35w мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$10z+14z=80-56$$

10z санын 14z санына қосу.

$$24z=80-56$$

80 санын -56 санына қосу.

$$24z=24$$

Екі жағын да 24 санына бөліңіз.

$$z=1$$

5w-2z=8 теңдеуінде 1 мәнін z мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, w мәнін тікелей таба аласыз.

$$5w-2=8$$

Теңдеудің екі жағына да 2 санын қосыңыз.

$$5w=10$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$w=2$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$w=2,z=1$$