{l}{62x+y=44}{34x-y=36} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 62 x + y = 44 } \\ { 34 x - y = 36 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

$$y = -\frac{23}{3} = -7\frac{2}{3} \approx -7.666666667$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$62x+y=44,34x-y=36$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$62x+y=44$$

Теңдеудің екі жағынан y санын алып тастаңыз.

$$62x=-y+44$$

Екі жағын да 62 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{62}\left(-y+44\right)$$

\frac{1}{62} санын -y+44 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{1}{62}y+\frac{22}{31}$$

Басқа теңдеуде -\frac{y}{62}+\frac{22}{31} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 34x-y=36.

$$34\left(-\frac{1}{62}y+\frac{22}{31}\right)-y=36$$

34 санын -\frac{y}{62}+\frac{22}{31} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{17}{31}y+\frac{748}{31}-y=36$$

-\frac{17y}{31} санын -y санына қосу.

$$-\frac{48}{31}y+\frac{748}{31}=36$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{748}{31} санын алып тастаңыз.

$$-\frac{48}{31}y=\frac{368}{31}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{48}{31} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=-\frac{23}{3}$$

x=-\frac{1}{62}y+\frac{22}{31} теңдеуінде -\frac{23}{3} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{1}{62}\left(-\frac{23}{3}\right)+\frac{22}{31}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы -\frac{23}{3} санын -\frac{1}{62} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{23}{186}+\frac{22}{31}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{22}{31} бөлшегіне \frac{23}{186} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{5}{6}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{5}{6},y=-\frac{23}{3}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$62x+y=44,34x-y=36$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}62&1\\34&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}44\\36\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}62&1\\34&-1\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}62&1\\34&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}62&1\\34&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}62&1\\34&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\36\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}62&1\\34&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\36\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}62&1\\34&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}44\\36\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{62\left(-1\right)-34}&-\frac{1}{62\left(-1\right)-34}\\-\frac{34}{62\left(-1\right)-34}&\frac{62}{62\left(-1\right)-34}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\36\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{96}&\frac{1}{96}\\\frac{17}{48}&-\frac{31}{48}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}44\\36\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{96}\times 44+\frac{1}{96}\times 36\\\frac{17}{48}\times 44-\frac{31}{48}\times 36\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{6}\\-\frac{23}{3}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{5}{6},y=-\frac{23}{3}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$62x+y=44,34x-y=36$$

62x және 34x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 34 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 62 санына көбейтіңіз.

$$34\times 62x+34y=34\times 44,62\times 34x+62\left(-1\right)y=62\times 36$$

Қысқартыңыз.

$$2108x+34y=1496,2108x-62y=2232$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 2108x-62y=2232 мәнін 2108x+34y=1496 мәнінен алып тастаңыз.

$$2108x-2108x+34y+62y=1496-2232$$

2108x санын -2108x санына қосу. 2108x және -2108x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$34y+62y=1496-2232$$

34y санын 62y санына қосу.

$$96y=1496-2232$$

1496 санын -2232 санына қосу.

$$96y=-736$$

Екі жағын да 96 санына бөліңіз.

$$y=-\frac{23}{3}$$

34x-y=36 теңдеуінде -\frac{23}{3} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$34x-\left(-\frac{23}{3}\right)=36$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{23}{3} санын алып тастаңыз.

$$34x=\frac{85}{3}$$

Екі жағын да 34 санына бөліңіз.

$$x=\frac{5}{6}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{5}{6},y=-\frac{23}{3}$$