{l}{6.5x+y=9}{1.6x+0.2y=13} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 6.5 x + y = 9 } \\ { 1.6 x + 0.2 y = 13 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{112}{3} = 37\frac{1}{3} \approx 37.333333333$$

$$y = -\frac{701}{3} = -233\frac{2}{3} \approx -233.666666667$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$6.5x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$6.5x+y=9$$

Теңдеудің екі жағынан y санын алып тастаңыз.

$$6.5x=-y+9$$

Теңдеудің екі жағын да 6.5 санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$x=\frac{2}{13}\left(-y+9\right)$$

\frac{2}{13} санын -y+9 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{2}{13}y+\frac{18}{13}$$

Басқа теңдеуде \frac{-2y+18}{13} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 1.6x+0.2y=13.

$$1.6\left(-\frac{2}{13}y+\frac{18}{13}\right)+0.2y=13$$

1.6 санын \frac{-2y+18}{13} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{16}{65}y+\frac{144}{65}+0.2y=13$$

-\frac{16y}{65} санын \frac{y}{5} санына қосу.

$$-\frac{3}{65}y+\frac{144}{65}=13$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{144}{65} санын алып тастаңыз.

$$-\frac{3}{65}y=\frac{701}{65}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{3}{65} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=-\frac{701}{3}$$

x=-\frac{2}{13}y+\frac{18}{13} теңдеуінде -\frac{701}{3} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{2}{13}\left(-\frac{701}{3}\right)+\frac{18}{13}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы -\frac{701}{3} санын -\frac{2}{13} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{1402}{39}+\frac{18}{13}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{18}{13} бөлшегіне \frac{1402}{39} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{112}{3}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{112}{3},y=-\frac{701}{3}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$6.5x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}6.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}6.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6.5&1\\1.6&0.2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.2}{6.5\times 0.2-1.6}&-\frac{1}{6.5\times 0.2-1.6}\\-\frac{1.6}{6.5\times 0.2-1.6}&\frac{6.5}{6.5\times 0.2-1.6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}&\frac{10}{3}\\\frac{16}{3}&-\frac{65}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\13\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3}\times 9+\frac{10}{3}\times 13\\\frac{16}{3}\times 9-\frac{65}{3}\times 13\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{112}{3}\\-\frac{701}{3}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{112}{3},y=-\frac{701}{3}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$6.5x+y=9,1.6x+0.2y=13$$

\frac{13x}{2} және \frac{8x}{5} мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1.6 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 6.5 санына көбейтіңіз.

$$1.6\times 6.5x+1.6y=1.6\times 9,6.5\times 1.6x+6.5\times 0.2y=6.5\times 13$$

Қысқартыңыз.

$$10.4x+1.6y=14.4,10.4x+1.3y=84.5$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 10.4x+1.3y=84.5 мәнін 10.4x+1.6y=14.4 мәнінен алып тастаңыз.

$$10.4x-10.4x+1.6y-1.3y=14.4-84.5$$

\frac{52x}{5} санын -\frac{52x}{5} санына қосу. \frac{52x}{5} және -\frac{52x}{5} мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$1.6y-1.3y=14.4-84.5$$

\frac{8y}{5} санын -\frac{13y}{10} санына қосу.

$$0.3y=14.4-84.5$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы 14.4 бөлшегіне -84.5 бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$0.3y=-70.1$$

Теңдеудің екі жағын да 0.3 санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=-\frac{701}{3}$$

1.6x+0.2y=13 теңдеуінде -\frac{701}{3} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$1.6x+0.2\left(-\frac{701}{3}\right)=13$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы -\frac{701}{3} санын 0.2 санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$1.6x-\frac{701}{15}=13$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{701}{15} санын қосыңыз.

$$1.6x=\frac{896}{15}$$

Теңдеудің екі жағын да 1.6 санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$x=\frac{112}{3}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{112}{3},y=-\frac{701}{3}$$