{l}{6y+4x=27}{x+y=50} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 6 y + 4 x = 27 } \\ { x + y = 50 } \end{array} \right.$$

y, x мәнін табыңыз

$$x = \frac{273}{2} = 136\frac{1}{2} = 136.5$$

$$y = -\frac{173}{2} = -86\frac{1}{2} = -86.5$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$6y+4x=27,y+x=50$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және y мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы y мәнін шешіңіз.

$$6y+4x=27$$

Теңдеудің екі жағынан 4x санын алып тастаңыз.

$$6y=-4x+27$$

Екі жағын да 6 санына бөліңіз.

$$y=\frac{1}{6}\left(-4x+27\right)$$

\frac{1}{6} санын -4x+27 санына көбейтіңіз.

$$y=-\frac{2}{3}x+\frac{9}{2}$$

Басқа теңдеуде -\frac{2x}{3}+\frac{9}{2} мәнін y мәнімен ауыстырыңыз, y+x=50.

$$-\frac{2}{3}x+\frac{9}{2}+x=50$$

-\frac{2x}{3} санын x санына қосу.

$$\frac{1}{3}x+\frac{9}{2}=50$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{9}{2} санын алып тастаңыз.

$$\frac{1}{3}x=\frac{91}{2}$$

Екі жағын да 3 мәніне көбейтіңіз.

$$x=\frac{273}{2}$$

y=-\frac{2}{3}x+\frac{9}{2} теңдеуінде \frac{273}{2} мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$y=-\frac{2}{3}\times \frac{273}{2}+\frac{9}{2}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{273}{2} санын -\frac{2}{3} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$y=-91+\frac{9}{2}$$

\frac{9}{2} санын -91 санына қосу.

$$y=-\frac{173}{2}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$y=-\frac{173}{2},x=\frac{273}{2}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$6y+4x=27,y+x=50$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}6&4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}27\\50\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}6&4\\1&1\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&4\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\50\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\50\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&4\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\50\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6-4}&-\frac{4}{6-4}\\-\frac{1}{6-4}&\frac{6}{6-4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\50\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&-2\\-\frac{1}{2}&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\50\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 27-2\times 50\\-\frac{1}{2}\times 27+3\times 50\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{173}{2}\\\frac{273}{2}\end{matrix}\right)$$

y және x матрица элементтерін шығарыңыз.

$$y=-\frac{173}{2},x=\frac{273}{2}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$6y+4x=27,y+x=50$$

6y және y мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 1 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 6 санына көбейтіңіз.

$$6y+4x=27,6y+6x=6\times 50$$

Қысқартыңыз.

$$6y+4x=27,6y+6x=300$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 6y+6x=300 мәнін 6y+4x=27 мәнінен алып тастаңыз.

$$6y-6y+4x-6x=27-300$$

6y санын -6y санына қосу. 6y және -6y мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$4x-6x=27-300$$

4x санын -6x санына қосу.

$$-2x=27-300$$

27 санын -300 санына қосу.

$$-2x=-273$$

Екі жағын да -2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{273}{2}$$

y+x=50 теңдеуінде \frac{273}{2} мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$y+\frac{273}{2}=50$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{273}{2} санын алып тастаңыз.

$$y=-\frac{173}{2}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$y=-\frac{173}{2},x=\frac{273}{2}$$