{l}{6x-1/3y=27}{4/5x+1/4y=25/4} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x - 1 / 3 y = 27 } \\ { 4 / 5 x + \frac { 1 } { 4 } y = 25 / 4 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=5$$

$$y=9$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$6x-\frac{1}{3}y=27,\frac{4}{5}x+\frac{1}{4}y=\frac{25}{4}$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$6x-\frac{1}{3}y=27$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{y}{3} санын қосыңыз.

$$6x=\frac{1}{3}y+27$$

Екі жағын да 6 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{6}\left(\frac{1}{3}y+27\right)$$

\frac{1}{6} санын \frac{y}{3}+27 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{1}{18}y+\frac{9}{2}$$

Басқа теңдеуде \frac{y}{18}+\frac{9}{2} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, \frac{4}{5}x+\frac{1}{4}y=\frac{25}{4}.

$$\frac{4}{5}\left(\frac{1}{18}y+\frac{9}{2}\right)+\frac{1}{4}y=\frac{25}{4}$$

\frac{4}{5} санын \frac{y}{18}+\frac{9}{2} санына көбейтіңіз.

$$\frac{2}{45}y+\frac{18}{5}+\frac{1}{4}y=\frac{25}{4}$$

\frac{2y}{45} санын \frac{y}{4} санына қосу.

$$\frac{53}{180}y+\frac{18}{5}=\frac{25}{4}$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{18}{5} санын алып тастаңыз.

$$\frac{53}{180}y=\frac{53}{20}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{53}{180} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=9$$

x=\frac{1}{18}y+\frac{9}{2} теңдеуінде 9 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{1}{18}\times 9+\frac{9}{2}$$

\frac{1}{18} санын 9 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{1+9}{2}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{9}{2} бөлшегіне \frac{1}{2} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=5$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=5,y=9$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$6x-\frac{1}{3}y=27,\frac{4}{5}x+\frac{1}{4}y=\frac{25}{4}$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}6&-\frac{1}{3}\\\frac{4}{5}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}27\\\frac{25}{4}\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}6&-\frac{1}{3}\\\frac{4}{5}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-\frac{1}{3}\\\frac{4}{5}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-\frac{1}{3}\\\frac{4}{5}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-\frac{1}{3}\\\frac{4}{5}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\\frac{25}{4}\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-\frac{1}{3}\\\frac{4}{5}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\\frac{25}{4}\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-\frac{1}{3}\\\frac{4}{5}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\\frac{25}{4}\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{4}}{6\times \frac{1}{4}-\left(-\frac{1}{3}\times \frac{4}{5}\right)}&-\frac{-\frac{1}{3}}{6\times \frac{1}{4}-\left(-\frac{1}{3}\times \frac{4}{5}\right)}\\-\frac{\frac{4}{5}}{6\times \frac{1}{4}-\left(-\frac{1}{3}\times \frac{4}{5}\right)}&\frac{6}{6\times \frac{1}{4}-\left(-\frac{1}{3}\times \frac{4}{5}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\\frac{25}{4}\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{106}&\frac{10}{53}\\-\frac{24}{53}&\frac{180}{53}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\\frac{25}{4}\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{15}{106}\times 27+\frac{10}{53}\times \frac{25}{4}\\-\frac{24}{53}\times 27+\frac{180}{53}\times \frac{25}{4}\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\9\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=5,y=9$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$6x-\frac{1}{3}y=27,\frac{4}{5}x+\frac{1}{4}y=\frac{25}{4}$$

6x және \frac{4x}{5} мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді \frac{4}{5} санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 6 санына көбейтіңіз.

$$\frac{4}{5}\times 6x+\frac{4}{5}\left(-\frac{1}{3}\right)y=\frac{4}{5}\times 27,6\times \frac{4}{5}x+6\times \frac{1}{4}y=6\times \frac{25}{4}$$

Қысқартыңыз.

$$\frac{24}{5}x-\frac{4}{15}y=\frac{108}{5},\frac{24}{5}x+\frac{3}{2}y=\frac{75}{2}$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы \frac{24}{5}x+\frac{3}{2}y=\frac{75}{2} мәнін \frac{24}{5}x-\frac{4}{15}y=\frac{108}{5} мәнінен алып тастаңыз.

$$\frac{24}{5}x-\frac{24}{5}x-\frac{4}{15}y-\frac{3}{2}y=\frac{108}{5}-\frac{75}{2}$$

\frac{24x}{5} санын -\frac{24x}{5} санына қосу. \frac{24x}{5} және -\frac{24x}{5} мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-\frac{4}{15}y-\frac{3}{2}y=\frac{108}{5}-\frac{75}{2}$$

-\frac{4y}{15} санын -\frac{3y}{2} санына қосу.

$$-\frac{53}{30}y=\frac{108}{5}-\frac{75}{2}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{108}{5} бөлшегіне -\frac{75}{2} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$-\frac{53}{30}y=-\frac{159}{10}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{53}{30} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=9$$

\frac{4}{5}x+\frac{1}{4}y=\frac{25}{4} теңдеуінде 9 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$\frac{4}{5}x+\frac{1}{4}\times 9=\frac{25}{4}$$

\frac{1}{4} санын 9 санына көбейтіңіз.

$$\frac{4}{5}x+\frac{9}{4}=\frac{25}{4}$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{9}{4} санын алып тастаңыз.

$$\frac{4}{5}x=4$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{4}{5} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$x=5$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=5,y=9$$