{l}{6x+5y=5600}{55x+46y=51400} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x + 5 y = 5600 } \\ { 55 x + 46 y = 51400 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=600$$

$$y=400$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$6x+5y=5600,55x+46y=51400$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$6x+5y=5600$$

Теңдеудің екі жағынан 5y санын алып тастаңыз.

$$6x=-5y+5600$$

Екі жағын да 6 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{6}\left(-5y+5600\right)$$

\frac{1}{6} санын -5y+5600 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{5}{6}y+\frac{2800}{3}$$

Басқа теңдеуде -\frac{5y}{6}+\frac{2800}{3} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 55x+46y=51400.

$$55\left(-\frac{5}{6}y+\frac{2800}{3}\right)+46y=51400$$

55 санын -\frac{5y}{6}+\frac{2800}{3} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{275}{6}y+\frac{154000}{3}+46y=51400$$

-\frac{275y}{6} санын 46y санына қосу.

$$\frac{1}{6}y+\frac{154000}{3}=51400$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{154000}{3} санын алып тастаңыз.

$$\frac{1}{6}y=\frac{200}{3}$$

Екі жағын да 6 мәніне көбейтіңіз.

$$y=400$$

x=-\frac{5}{6}y+\frac{2800}{3} теңдеуінде 400 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{5}{6}\times 400+\frac{2800}{3}$$

-\frac{5}{6} санын 400 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-1000+2800}{3}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{2800}{3} бөлшегіне -\frac{1000}{3} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=600$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=600,y=400$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$6x+5y=5600,55x+46y=51400$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}6&5\\55&46\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5600\\51400\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}6&5\\55&46\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\55&46\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&5\\55&46\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\55&46\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5600\\51400\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\55&46\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5600\\51400\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\55&46\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5600\\51400\end{matrix}\right)$$

2\times 2 матрицасы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{46}{6\times 46-5\times 55}&-\frac{5}{6\times 46-5\times 55}\\-\frac{55}{6\times 46-5\times 55}&\frac{6}{6\times 46-5\times 55}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5600\\51400\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}46&-5\\-55&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5600\\51400\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}46\times 5600-5\times 51400\\-55\times 5600+6\times 51400\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}600\\400\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=600,y=400$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$6x+5y=5600,55x+46y=51400$$

6x және 55x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 55 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 6 санына көбейтіңіз.

$$55\times 6x+55\times 5y=55\times 5600,6\times 55x+6\times 46y=6\times 51400$$

Қысқартыңыз.

$$330x+275y=308000,330x+276y=308400$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 330x+276y=308400 мәнін 330x+275y=308000 мәнінен алып тастаңыз.

$$330x-330x+275y-276y=308000-308400$$

330x санын -330x санына қосу. 330x және -330x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$275y-276y=308000-308400$$

275y санын -276y санына қосу.

$$-y=308000-308400$$

308000 санын -308400 санына қосу.

$$-y=-400$$

Екі жағын да -1 санына бөліңіз.

$$y=400$$

55x+46y=51400 теңдеуінде 400 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$55x+46\times 400=51400$$

46 санын 400 санына көбейтіңіз.

$$55x+18400=51400$$

Теңдеудің екі жағынан 18400 санын алып тастаңыз.

$$55x=33000$$

Екі жағын да 55 санына бөліңіз.

$$x=600$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=600,y=400$$