{l}{6x+5y=27}{2x+y=13} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x + 5 y = 27 } \\ { 2 x + y = 13 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{19}{2} = 9\frac{1}{2} = 9.5$$

$$y=-6$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$6x+5y=27,2x+y=13$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$6x+5y=27$$

Теңдеудің екі жағынан 5y санын алып тастаңыз.

$$6x=-5y+27$$

Екі жағын да 6 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{6}\left(-5y+27\right)$$

\frac{1}{6} санын -5y+27 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{5}{6}y+\frac{9}{2}$$

Басқа теңдеуде -\frac{5y}{6}+\frac{9}{2} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 2x+y=13.

$$2\left(-\frac{5}{6}y+\frac{9}{2}\right)+y=13$$

2 санын -\frac{5y}{6}+\frac{9}{2} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{5}{3}y+9+y=13$$

-\frac{5y}{3} санын y санына қосу.

$$-\frac{2}{3}y+9=13$$

Теңдеудің екі жағынан 9 санын алып тастаңыз.

$$-\frac{2}{3}y=4$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{2}{3} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=-6$$

x=-\frac{5}{6}y+\frac{9}{2} теңдеуінде -6 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{5}{6}\left(-6\right)+\frac{9}{2}$$

-\frac{5}{6} санын -6 санына көбейтіңіз.

$$x=5+\frac{9}{2}$$

\frac{9}{2} санын 5 санына қосу.

$$x=\frac{19}{2}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{19}{2},y=-6$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$6x+5y=27,2x+y=13$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}6&5\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}27\\13\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}6&5\\2&1\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&5\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\13\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\13\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&5\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\13\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{6-5\times 2}&-\frac{5}{6-5\times 2}\\-\frac{2}{6-5\times 2}&\frac{6}{6-5\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\13\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{5}{4}\\\frac{1}{2}&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\13\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\times 27+\frac{5}{4}\times 13\\\frac{1}{2}\times 27-\frac{3}{2}\times 13\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{2}\\-6\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{19}{2},y=-6$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$6x+5y=27,2x+y=13$$

6x және 2x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 6 санына көбейтіңіз.

$$2\times 6x+2\times 5y=2\times 27,6\times 2x+6y=6\times 13$$

Қысқартыңыз.

$$12x+10y=54,12x+6y=78$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 12x+6y=78 мәнін 12x+10y=54 мәнінен алып тастаңыз.

$$12x-12x+10y-6y=54-78$$

12x санын -12x санына қосу. 12x және -12x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$10y-6y=54-78$$

10y санын -6y санына қосу.

$$4y=54-78$$

54 санын -78 санына қосу.

$$4y=-24$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$y=-6$$

2x+y=13 теңдеуінде -6 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$2x-6=13$$

Теңдеудің екі жағына да 6 санын қосыңыз.

$$2x=19$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{19}{2}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{19}{2},y=-6$$