{l}{6x+3y=24}{7x+6y=33} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 6 x + 3 y = 24 } \\ { 7 x + 6 y = 33 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=3$$

$$y=2$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$6x+3y=24,7x+6y=33$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$6x+3y=24$$

Теңдеудің екі жағынан 3y санын алып тастаңыз.

$$6x=-3y+24$$

Екі жағын да 6 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{6}\left(-3y+24\right)$$

\frac{1}{6} санын -3y+24 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{1}{2}y+4$$

Басқа теңдеуде -\frac{y}{2}+4 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 7x+6y=33.

$$7\left(-\frac{1}{2}y+4\right)+6y=33$$

7 санын -\frac{y}{2}+4 санына көбейтіңіз.

$$-\frac{7}{2}y+28+6y=33$$

-\frac{7y}{2} санын 6y санына қосу.

$$\frac{5}{2}y+28=33$$

Теңдеудің екі жағынан 28 санын алып тастаңыз.

$$\frac{5}{2}y=5$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{5}{2} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=2$$

x=-\frac{1}{2}y+4 теңдеуінде 2 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{1}{2}\times 2+4$$

-\frac{1}{2} санын 2 санына көбейтіңіз.

$$x=-1+4$$

4 санын -1 санына қосу.

$$x=3$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=3,y=2$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$6x+3y=24,7x+6y=33$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}6&3\\7&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}24\\33\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}6&3\\7&6\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\7&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&3\\7&6\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\7&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\33\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\7&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\33\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&3\\7&6\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}24\\33\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{6\times 6-3\times 7}&-\frac{3}{6\times 6-3\times 7}\\-\frac{7}{6\times 6-3\times 7}&\frac{6}{6\times 6-3\times 7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\33\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{7}{15}&\frac{2}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}24\\33\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\times 24-\frac{1}{5}\times 33\\-\frac{7}{15}\times 24+\frac{2}{5}\times 33\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\2\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=3,y=2$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$6x+3y=24,7x+6y=33$$

6x және 7x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 7 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 6 санына көбейтіңіз.

$$7\times 6x+7\times 3y=7\times 24,6\times 7x+6\times 6y=6\times 33$$

Қысқартыңыз.

$$42x+21y=168,42x+36y=198$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 42x+36y=198 мәнін 42x+21y=168 мәнінен алып тастаңыз.

$$42x-42x+21y-36y=168-198$$

42x санын -42x санына қосу. 42x және -42x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$21y-36y=168-198$$

21y санын -36y санына қосу.

$$-15y=168-198$$

168 санын -198 санына қосу.

$$-15y=-30$$

Екі жағын да -15 санына бөліңіз.

$$y=2$$

7x+6y=33 теңдеуінде 2 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$7x+6\times 2=33$$

6 санын 2 санына көбейтіңіз.

$$7x+12=33$$

Теңдеудің екі жағынан 12 санын алып тастаңыз.

$$7x=21$$

Екі жағын да 7 санына бөліңіз.

$$x=3$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=3,y=2$$