{l}{6m-5n=-9}{4m+3n=13(5)} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 6 m - 5 n = - 9 } \\ { 4 m + 3 n = 13 ( 5 ) } \end{array} \right.$$

m, n мәнін табыңыз

$$m = \frac{149}{19} = 7\frac{16}{19} \approx 7.842105263$$

$$n = \frac{213}{19} = 11\frac{4}{19} \approx 11.210526316$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$6m-5n=-9,4m+3n=65$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және m мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы m мәнін шешіңіз.

$$6m-5n=-9$$

Теңдеудің екі жағына да 5n санын қосыңыз.

$$6m=5n-9$$

Екі жағын да 6 санына бөліңіз.

$$m=\frac{1}{6}\left(5n-9\right)$$

\frac{1}{6} санын 5n-9 санына көбейтіңіз.

$$m=\frac{5}{6}n-\frac{3}{2}$$

Басқа теңдеуде \frac{5n}{6}-\frac{3}{2} мәнін m мәнімен ауыстырыңыз, 4m+3n=65.

$$4\left(\frac{5}{6}n-\frac{3}{2}\right)+3n=65$$

4 санын \frac{5n}{6}-\frac{3}{2} санына көбейтіңіз.

$$\frac{10}{3}n-6+3n=65$$

\frac{10n}{3} санын 3n санына қосу.

$$\frac{19}{3}n-6=65$$

Теңдеудің екі жағына да 6 санын қосыңыз.

$$\frac{19}{3}n=71$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{19}{3} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$n=\frac{213}{19}$$

m=\frac{5}{6}n-\frac{3}{2} теңдеуінде \frac{213}{19} мәнін n мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, m мәнін тікелей таба аласыз.

$$m=\frac{5}{6}\times \frac{213}{19}-\frac{3}{2}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{213}{19} санын \frac{5}{6} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$m=\frac{355}{38}-\frac{3}{2}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы -\frac{3}{2} бөлшегіне \frac{355}{38} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$m=\frac{149}{19}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$m=\frac{149}{19},n=\frac{213}{19}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$6m-5n=-9,4m+3n=65$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\65\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\65\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\65\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}6&-5\\4&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\65\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{6\times 3-\left(-5\times 4\right)}&-\frac{-5}{6\times 3-\left(-5\times 4\right)}\\-\frac{4}{6\times 3-\left(-5\times 4\right)}&\frac{6}{6\times 3-\left(-5\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\65\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{38}&\frac{5}{38}\\-\frac{2}{19}&\frac{3}{19}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\65\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{38}\left(-9\right)+\frac{5}{38}\times 65\\-\frac{2}{19}\left(-9\right)+\frac{3}{19}\times 65\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{149}{19}\\\frac{213}{19}\end{matrix}\right)$$

m және n матрица элементтерін шығарыңыз.

$$m=\frac{149}{19},n=\frac{213}{19}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$6m-5n=-9,4m+3n=65$$

6m және 4m мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 4 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 6 санына көбейтіңіз.

$$4\times 6m+4\left(-5\right)n=4\left(-9\right),6\times 4m+6\times 3n=6\times 65$$

Қысқартыңыз.

$$24m-20n=-36,24m+18n=390$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 24m+18n=390 мәнін 24m-20n=-36 мәнінен алып тастаңыз.

$$24m-24m-20n-18n=-36-390$$

24m санын -24m санына қосу. 24m және -24m мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-20n-18n=-36-390$$

-20n санын -18n санына қосу.

$$-38n=-36-390$$

-36 санын -390 санына қосу.

$$-38n=-426$$

Екі жағын да -38 санына бөліңіз.

$$n=\frac{213}{19}$$

4m+3n=65 теңдеуінде \frac{213}{19} мәнін n мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, m мәнін тікелей таба аласыз.

$$4m+3\times \frac{213}{19}=65$$

3 санын \frac{213}{19} санына көбейтіңіз.

$$4m+\frac{639}{19}=65$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{639}{19} санын алып тастаңыз.

$$4m=\frac{596}{19}$$

Екі жағын да 4 санына бөліңіз.

$$m=\frac{149}{19}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$m=\frac{149}{19},n=\frac{213}{19}$$