{l}{50x+3y=1}{2x-4y=5} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 50 x + 3 y = 1 } \\ { 2 x - 4 y = 5 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=\frac{19}{206}\approx 0.09223301$$

$$y = -\frac{124}{103} = -1\frac{21}{103} \approx -1.203883495$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$50x+3y=1,2x-4y=5$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$50x+3y=1$$

Теңдеудің екі жағынан 3y санын алып тастаңыз.

$$50x=-3y+1$$

Екі жағын да 50 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{50}\left(-3y+1\right)$$

\frac{1}{50} санын -3y+1 санына көбейтіңіз.

$$x=-\frac{3}{50}y+\frac{1}{50}$$

Басқа теңдеуде \frac{-3y+1}{50} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 2x-4y=5.

$$2\left(-\frac{3}{50}y+\frac{1}{50}\right)-4y=5$$

2 санын \frac{-3y+1}{50} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{3}{25}y+\frac{1}{25}-4y=5$$

-\frac{3y}{25} санын -4y санына қосу.

$$-\frac{103}{25}y+\frac{1}{25}=5$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{1}{25} санын алып тастаңыз.

$$-\frac{103}{25}y=\frac{124}{25}$$

Теңдеудің екі жағын да -\frac{103}{25} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=-\frac{124}{103}$$

x=-\frac{3}{50}y+\frac{1}{50} теңдеуінде -\frac{124}{103} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=-\frac{3}{50}\left(-\frac{124}{103}\right)+\frac{1}{50}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы -\frac{124}{103} санын -\frac{3}{50} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{186}{2575}+\frac{1}{50}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{1}{50} бөлшегіне \frac{186}{2575} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{19}{206}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{19}{206},y=-\frac{124}{103}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$50x+3y=1,2x-4y=5$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}50&3\\2&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}50&3\\2&-4\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}50&3\\2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}50&3\\2&-4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&3\\2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&3\\2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}50&3\\2&-4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{4}{50\left(-4\right)-3\times 2}&-\frac{3}{50\left(-4\right)-3\times 2}\\-\frac{2}{50\left(-4\right)-3\times 2}&\frac{50}{50\left(-4\right)-3\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{103}&\frac{3}{206}\\\frac{1}{103}&-\frac{25}{103}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\5\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{103}+\frac{3}{206}\times 5\\\frac{1}{103}-\frac{25}{103}\times 5\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{19}{206}\\-\frac{124}{103}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{19}{206},y=-\frac{124}{103}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$50x+3y=1,2x-4y=5$$

50x және 2x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 50 санына көбейтіңіз.

$$2\times 50x+2\times 3y=2,50\times 2x+50\left(-4\right)y=50\times 5$$

Қысқартыңыз.

$$100x+6y=2,100x-200y=250$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 100x-200y=250 мәнін 100x+6y=2 мәнінен алып тастаңыз.

$$100x-100x+6y+200y=2-250$$

100x санын -100x санына қосу. 100x және -100x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$6y+200y=2-250$$

6y санын 200y санына қосу.

$$206y=2-250$$

2 санын -250 санына қосу.

$$206y=-248$$

Екі жағын да 206 санына бөліңіз.

$$y=-\frac{124}{103}$$

2x-4y=5 теңдеуінде -\frac{124}{103} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$2x-4\left(-\frac{124}{103}\right)=5$$

-4 санын -\frac{124}{103} санына көбейтіңіз.

$$2x+\frac{496}{103}=5$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{496}{103} санын алып тастаңыз.

$$2x=\frac{19}{103}$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{19}{206}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{19}{206},y=-\frac{124}{103}$$