{l}{5y+8x=-18}{5y+2x=58} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 5 y + 8 x = - 18 } \\ { 5 y + 2 x = 58 } \end{array} \right.$$

y, x мәнін табыңыз

$$x = -\frac{38}{3} = -12\frac{2}{3} \approx -12.666666667$$

$$y = \frac{50}{3} = 16\frac{2}{3} \approx 16.666666667$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$5y+8x=-18,5y+2x=58$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және y мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы y мәнін шешіңіз.

$$5y+8x=-18$$

Теңдеудің екі жағынан 8x санын алып тастаңыз.

$$5y=-8x-18$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$y=\frac{1}{5}\left(-8x-18\right)$$

\frac{1}{5} санын -8x-18 санына көбейтіңіз.

$$y=-\frac{8}{5}x-\frac{18}{5}$$

Басқа теңдеуде \frac{-8x-18}{5} мәнін y мәнімен ауыстырыңыз, 5y+2x=58.

$$5\left(-\frac{8}{5}x-\frac{18}{5}\right)+2x=58$$

5 санын \frac{-8x-18}{5} санына көбейтіңіз.

$$-8x-18+2x=58$$

-8x санын 2x санына қосу.

$$-6x-18=58$$

Теңдеудің екі жағына да 18 санын қосыңыз.

$$-6x=76$$

Екі жағын да -6 санына бөліңіз.

$$x=-\frac{38}{3}$$

y=-\frac{8}{5}x-\frac{18}{5} теңдеуінде -\frac{38}{3} мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$y=-\frac{8}{5}\left(-\frac{38}{3}\right)-\frac{18}{5}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы -\frac{38}{3} санын -\frac{8}{5} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$y=\frac{304}{15}-\frac{18}{5}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы -\frac{18}{5} бөлшегіне \frac{304}{15} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$y=\frac{50}{3}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$y=\frac{50}{3},x=-\frac{38}{3}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$5y+8x=-18,5y+2x=58$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}5&8\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}5&8\\5&2\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&8\\5&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&8\\5&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-8\times 5}&-\frac{8}{5\times 2-8\times 5}\\-\frac{5}{5\times 2-8\times 5}&\frac{5}{5\times 2-8\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}&\frac{4}{15}\\\frac{1}{6}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-18\\58\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{15}\left(-18\right)+\frac{4}{15}\times 58\\\frac{1}{6}\left(-18\right)-\frac{1}{6}\times 58\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{50}{3}\\-\frac{38}{3}\end{matrix}\right)$$

y және x матрица элементтерін шығарыңыз.

$$y=\frac{50}{3},x=-\frac{38}{3}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$5y+8x=-18,5y+2x=58$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 5y+2x=58 мәнін 5y+8x=-18 мәнінен алып тастаңыз.

$$5y-5y+8x-2x=-18-58$$

5y санын -5y санына қосу. 5y және -5y мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$8x-2x=-18-58$$

8x санын -2x санына қосу.

$$6x=-18-58$$

-18 санын -58 санына қосу.

$$6x=-76$$

Екі жағын да 6 санына бөліңіз.

$$x=-\frac{38}{3}$$

5y+2x=58 теңдеуінде -\frac{38}{3} мәнін x мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, y мәнін тікелей таба аласыз.

$$5y+2\left(-\frac{38}{3}\right)=58$$

2 санын -\frac{38}{3} санына көбейтіңіз.

$$5y-\frac{76}{3}=58$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{76}{3} санын қосыңыз.

$$5y=\frac{250}{3}$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$y=\frac{50}{3}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$y=\frac{50}{3},x=-\frac{38}{3}$$