{l}{5x-y=8}{10x+3y=6} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - y = 8 } \\ { 10 x + 3 y = 6 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{6}{5} = 1\frac{1}{5} = 1.2$$

$$y=-2$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$5x-y=8,10x+3y=6$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$5x-y=8$$

Теңдеудің екі жағына да y санын қосыңыз.

$$5x=y+8$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{5}\left(y+8\right)$$

\frac{1}{5} санын y+8 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{1}{5}y+\frac{8}{5}$$

Басқа теңдеуде \frac{8+y}{5} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 10x+3y=6.

$$10\left(\frac{1}{5}y+\frac{8}{5}\right)+3y=6$$

10 санын \frac{8+y}{5} санына көбейтіңіз.

$$2y+16+3y=6$$

2y санын 3y санына қосу.

$$5y+16=6$$

Теңдеудің екі жағынан 16 санын алып тастаңыз.

$$5y=-10$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$y=-2$$

x=\frac{1}{5}y+\frac{8}{5} теңдеуінде -2 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{1}{5}\left(-2\right)+\frac{8}{5}$$

\frac{1}{5} санын -2 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{-2+8}{5}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{8}{5} бөлшегіне -\frac{2}{5} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{6}{5}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{6}{5},y=-2$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$5x-y=8,10x+3y=6$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\10&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}5&-1\\10&3\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\10&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\10&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\10&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\10&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\10&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-\left(-10\right)}&-\frac{-1}{5\times 3-\left(-10\right)}\\-\frac{10}{5\times 3-\left(-10\right)}&\frac{5}{5\times 3-\left(-10\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{25}&\frac{1}{25}\\-\frac{2}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}8\\6\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{25}\times 8+\frac{1}{25}\times 6\\-\frac{2}{5}\times 8+\frac{1}{5}\times 6\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6}{5}\\-2\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{6}{5},y=-2$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$5x-y=8,10x+3y=6$$

5x және 10x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 10 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 5 санына көбейтіңіз.

$$10\times 5x+10\left(-1\right)y=10\times 8,5\times 10x+5\times 3y=5\times 6$$

Қысқартыңыз.

$$50x-10y=80,50x+15y=30$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 50x+15y=30 мәнін 50x-10y=80 мәнінен алып тастаңыз.

$$50x-50x-10y-15y=80-30$$

50x санын -50x санына қосу. 50x және -50x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-10y-15y=80-30$$

-10y санын -15y санына қосу.

$$-25y=80-30$$

80 санын -30 санына қосу.

$$-25y=50$$

Екі жағын да -25 санына бөліңіз.

$$y=-2$$

10x+3y=6 теңдеуінде -2 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$10x+3\left(-2\right)=6$$

3 санын -2 санына көбейтіңіз.

$$10x-6=6$$

Теңдеудің екі жағына да 6 санын қосыңыз.

$$10x=12$$

Екі жағын да 10 санына бөліңіз.

$$x=\frac{6}{5}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{6}{5},y=-2$$