{l}{5x-y=7}{3x+2y=12} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - y = 7 } \\ { 3 x + 2 y = 12 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=2$$

$$y=3$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$5x-y=7,3x+2y=12$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$5x-y=7$$

Теңдеудің екі жағына да y санын қосыңыз.

$$5x=y+7$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{5}\left(y+7\right)$$

\frac{1}{5} санын y+7 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{1}{5}y+\frac{7}{5}$$

Басқа теңдеуде \frac{7+y}{5} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 3x+2y=12.

$$3\left(\frac{1}{5}y+\frac{7}{5}\right)+2y=12$$

3 санын \frac{7+y}{5} санына көбейтіңіз.

$$\frac{3}{5}y+\frac{21}{5}+2y=12$$

\frac{3y}{5} санын 2y санына қосу.

$$\frac{13}{5}y+\frac{21}{5}=12$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{21}{5} санын алып тастаңыз.

$$\frac{13}{5}y=\frac{39}{5}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{13}{5} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=3$$

x=\frac{1}{5}y+\frac{7}{5} теңдеуінде 3 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{1}{5}\times 3+\frac{7}{5}$$

\frac{1}{5} санын 3 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{3+7}{5}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{7}{5} бөлшегіне \frac{3}{5} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=2$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=2,y=3$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$5x-y=7,3x+2y=12$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\12\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\12\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\12\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\12\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{5\times 2-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{5\times 2-\left(-3\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\12\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&\frac{1}{13}\\-\frac{3}{13}&\frac{5}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\12\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\times 7+\frac{1}{13}\times 12\\-\frac{3}{13}\times 7+\frac{5}{13}\times 12\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=2,y=3$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$5x-y=7,3x+2y=12$$

5x және 3x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 5 санына көбейтіңіз.

$$3\times 5x+3\left(-1\right)y=3\times 7,5\times 3x+5\times 2y=5\times 12$$

Қысқартыңыз.

$$15x-3y=21,15x+10y=60$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 15x+10y=60 мәнін 15x-3y=21 мәнінен алып тастаңыз.

$$15x-15x-3y-10y=21-60$$

15x санын -15x санына қосу. 15x және -15x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-3y-10y=21-60$$

-3y санын -10y санына қосу.

$$-13y=21-60$$

21 санын -60 санына қосу.

$$-13y=-39$$

Екі жағын да -13 санына бөліңіз.

$$y=3$$

3x+2y=12 теңдеуінде 3 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$3x+2\times 3=12$$

2 санын 3 санына көбейтіңіз.

$$3x+6=12$$

Теңдеудің екі жағынан 6 санын алып тастаңыз.

$$3x=6$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=2$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=2,y=3$$