{l}{5x-y=3}{-2x+4y=12} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - y = 3 } \\ { - 2 x + 4 y = 12 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

$$y = \frac{11}{3} = 3\frac{2}{3} \approx 3.666666667$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$5x-y=3,-2x+4y=12$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$5x-y=3$$

Теңдеудің екі жағына да y санын қосыңыз.

$$5x=y+3$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{5}\left(y+3\right)$$

\frac{1}{5} санын y+3 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{1}{5}y+\frac{3}{5}$$

Басқа теңдеуде \frac{3+y}{5} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, -2x+4y=12.

$$-2\left(\frac{1}{5}y+\frac{3}{5}\right)+4y=12$$

-2 санын \frac{3+y}{5} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{2}{5}y-\frac{6}{5}+4y=12$$

-\frac{2y}{5} санын 4y санына қосу.

$$\frac{18}{5}y-\frac{6}{5}=12$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{6}{5} санын қосыңыз.

$$\frac{18}{5}y=\frac{66}{5}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{18}{5} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=\frac{11}{3}$$

x=\frac{1}{5}y+\frac{3}{5} теңдеуінде \frac{11}{3} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{1}{5}\times \frac{11}{3}+\frac{3}{5}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{11}{3} санын \frac{1}{5} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{11}{15}+\frac{3}{5}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{3}{5} бөлшегіне \frac{11}{15} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{4}{3}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{4}{3},y=\frac{11}{3}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$5x-y=3,-2x+4y=12$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}5&-1\\-2&4\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&4\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-1\\-2&4\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{5\times 4-\left(-\left(-2\right)\right)}&-\frac{-1}{5\times 4-\left(-\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{5\times 4-\left(-\left(-2\right)\right)}&\frac{5}{5\times 4-\left(-\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}&\frac{1}{18}\\\frac{1}{9}&\frac{5}{18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\12\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{9}\times 3+\frac{1}{18}\times 12\\\frac{1}{9}\times 3+\frac{5}{18}\times 12\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4}{3}\\\frac{11}{3}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{4}{3},y=\frac{11}{3}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$5x-y=3,-2x+4y=12$$

5x және -2x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -2 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 5 санына көбейтіңіз.

$$-2\times 5x-2\left(-1\right)y=-2\times 3,5\left(-2\right)x+5\times 4y=5\times 12$$

Қысқартыңыз.

$$-10x+2y=-6,-10x+20y=60$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -10x+20y=60 мәнін -10x+2y=-6 мәнінен алып тастаңыз.

$$-10x+10x+2y-20y=-6-60$$

-10x санын 10x санына қосу. -10x және 10x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$2y-20y=-6-60$$

2y санын -20y санына қосу.

$$-18y=-6-60$$

-6 санын -60 санына қосу.

$$-18y=-66$$

Екі жағын да -18 санына бөліңіз.

$$y=\frac{11}{3}$$

-2x+4y=12 теңдеуінде \frac{11}{3} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$-2x+4\times \frac{11}{3}=12$$

4 санын \frac{11}{3} санына көбейтіңіз.

$$-2x+\frac{44}{3}=12$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{44}{3} санын алып тастаңыз.

$$-2x=-\frac{8}{3}$$

Екі жағын да -2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{4}{3}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{4}{3},y=\frac{11}{3}$$