{l}{5x-7y=4}{-x+2y=-3} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 7 y = 4 } \\ { - x + 2 y = - 3 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = -\frac{13}{3} = -4\frac{1}{3} \approx -4.333333333$$

$$y = -\frac{11}{3} = -3\frac{2}{3} \approx -3.666666667$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$5x-7y=4,-x+2y=-3$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$5x-7y=4$$

Теңдеудің екі жағына да 7y санын қосыңыз.

$$5x=7y+4$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{5}\left(7y+4\right)$$

\frac{1}{5} санын 7y+4 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{7}{5}y+\frac{4}{5}$$

Басқа теңдеуде \frac{7y+4}{5} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, -x+2y=-3.

$$-\left(\frac{7}{5}y+\frac{4}{5}\right)+2y=-3$$

-1 санын \frac{7y+4}{5} санына көбейтіңіз.

$$-\frac{7}{5}y-\frac{4}{5}+2y=-3$$

-\frac{7y}{5} санын 2y санына қосу.

$$\frac{3}{5}y-\frac{4}{5}=-3$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{4}{5} санын қосыңыз.

$$\frac{3}{5}y=-\frac{11}{5}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{3}{5} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=-\frac{11}{3}$$

x=\frac{7}{5}y+\frac{4}{5} теңдеуінде -\frac{11}{3} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{7}{5}\left(-\frac{11}{3}\right)+\frac{4}{5}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы -\frac{11}{3} санын \frac{7}{5} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{77}{15}+\frac{4}{5}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{4}{5} бөлшегіне -\frac{77}{15} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{13}{3}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{13}{3},y=-\frac{11}{3}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$5x-7y=4,-x+2y=-3$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}5&-7\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}5&-7\\-1&2\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-7\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5\times 2-\left(-7\left(-1\right)\right)}&-\frac{-7}{5\times 2-\left(-7\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{5\times 2-\left(-7\left(-1\right)\right)}&\frac{5}{5\times 2-\left(-7\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{7}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{5}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-3\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}\times 4+\frac{7}{3}\left(-3\right)\\\frac{1}{3}\times 4+\frac{5}{3}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{13}{3}\\-\frac{11}{3}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=-\frac{13}{3},y=-\frac{11}{3}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$5x-7y=4,-x+2y=-3$$

5x және -x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді -1 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 5 санына көбейтіңіз.

$$-5x-\left(-7y\right)=-4,5\left(-1\right)x+5\times 2y=5\left(-3\right)$$

Қысқартыңыз.

$$-5x+7y=-4,-5x+10y=-15$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы -5x+10y=-15 мәнін -5x+7y=-4 мәнінен алып тастаңыз.

$$-5x+5x+7y-10y=-4+15$$

-5x санын 5x санына қосу. -5x және 5x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$7y-10y=-4+15$$

7y санын -10y санына қосу.

$$-3y=-4+15$$

-4 санын 15 санына қосу.

$$-3y=11$$

Екі жағын да -3 санына бөліңіз.

$$y=-\frac{11}{3}$$

-x+2y=-3 теңдеуінде -\frac{11}{3} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$-x+2\left(-\frac{11}{3}\right)=-3$$

2 санын -\frac{11}{3} санына көбейтіңіз.

$$-x-\frac{22}{3}=-3$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{22}{3} санын қосыңыз.

$$-x=\frac{13}{3}$$

Екі жағын да -1 санына бөліңіз.

$$x=-\frac{13}{3}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=-\frac{13}{3},y=-\frac{11}{3}$$