{l}{5x-7y=-27}{2x+3y=24} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 7 y = - 27 } \\ { 2 x + 3 y = 24 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x=3$$

$$y=6$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$5x-7y=-27,2x+3y=24$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$5x-7y=-27$$

Теңдеудің екі жағына да 7y санын қосыңыз.

$$5x=7y-27$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{5}\left(7y-27\right)$$

\frac{1}{5} санын 7y-27 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{7}{5}y-\frac{27}{5}$$

Басқа теңдеуде \frac{7y-27}{5} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 2x+3y=24.

$$2\left(\frac{7}{5}y-\frac{27}{5}\right)+3y=24$$

2 санын \frac{7y-27}{5} санына көбейтіңіз.

$$\frac{14}{5}y-\frac{54}{5}+3y=24$$

\frac{14y}{5} санын 3y санына қосу.

$$\frac{29}{5}y-\frac{54}{5}=24$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{54}{5} санын қосыңыз.

$$\frac{29}{5}y=\frac{174}{5}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{29}{5} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=6$$

x=\frac{7}{5}y-\frac{27}{5} теңдеуінде 6 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{7}{5}\times 6-\frac{27}{5}$$

\frac{7}{5} санын 6 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{42-27}{5}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы -\frac{27}{5} бөлшегіне \frac{42}{5} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=3$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=3,y=6$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$5x-7y=-27,2x+3y=24$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}5&-7\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-27\\24\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}5&-7\\2&3\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-7\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-27\\24\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-27\\24\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-7\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-27\\24\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{5\times 3-\left(-7\times 2\right)}&-\frac{-7}{5\times 3-\left(-7\times 2\right)}\\-\frac{2}{5\times 3-\left(-7\times 2\right)}&\frac{5}{5\times 3-\left(-7\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-27\\24\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{29}&\frac{7}{29}\\-\frac{2}{29}&\frac{5}{29}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-27\\24\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{29}\left(-27\right)+\frac{7}{29}\times 24\\-\frac{2}{29}\left(-27\right)+\frac{5}{29}\times 24\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\6\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=3,y=6$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$5x-7y=-27,2x+3y=24$$

5x және 2x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 5 санына көбейтіңіз.

$$2\times 5x+2\left(-7\right)y=2\left(-27\right),5\times 2x+5\times 3y=5\times 24$$

Қысқартыңыз.

$$10x-14y=-54,10x+15y=120$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 10x+15y=120 мәнін 10x-14y=-54 мәнінен алып тастаңыз.

$$10x-10x-14y-15y=-54-120$$

10x санын -10x санына қосу. 10x және -10x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-14y-15y=-54-120$$

-14y санын -15y санына қосу.

$$-29y=-54-120$$

-54 санын -120 санына қосу.

$$-29y=-174$$

Екі жағын да -29 санына бөліңіз.

$$y=6$$

2x+3y=24 теңдеуінде 6 мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$2x+3\times 6=24$$

3 санын 6 санына көбейтіңіз.

$$2x+18=24$$

Теңдеудің екі жағынан 18 санын алып тастаңыз.

$$2x=6$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=3$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=3,y=6$$