{l}{5x-6y=4}{3x+7y=8} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 6 y = 4 } \\ { 3 x + 7 y = 8 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{76}{53} = 1\frac{23}{53} \approx 1.433962264$$

$$y=\frac{28}{53}\approx 0.528301887$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$5x-6y=4,3x+7y=8$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$5x-6y=4$$

Теңдеудің екі жағына да 6y санын қосыңыз.

$$5x=6y+4$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{5}\left(6y+4\right)$$

\frac{1}{5} санын 6y+4 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{6}{5}y+\frac{4}{5}$$

Басқа теңдеуде \frac{6y+4}{5} мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 3x+7y=8.

$$3\left(\frac{6}{5}y+\frac{4}{5}\right)+7y=8$$

3 санын \frac{6y+4}{5} санына көбейтіңіз.

$$\frac{18}{5}y+\frac{12}{5}+7y=8$$

\frac{18y}{5} санын 7y санына қосу.

$$\frac{53}{5}y+\frac{12}{5}=8$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{12}{5} санын алып тастаңыз.

$$\frac{53}{5}y=\frac{28}{5}$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{53}{5} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=\frac{28}{53}$$

x=\frac{6}{5}y+\frac{4}{5} теңдеуінде \frac{28}{53} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{6}{5}\times \frac{28}{53}+\frac{4}{5}$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы \frac{28}{53} санын \frac{6}{5} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{168}{265}+\frac{4}{5}$$

Бөлшектің ортақ бөлгішін тауып, алымдарды қосу арқылы \frac{4}{5} бөлшегіне \frac{168}{265} бөлшегін қосыңыз. Содан соң, бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=\frac{76}{53}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{76}{53},y=\frac{28}{53}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$5x-6y=4,3x+7y=8$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}5&-6\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}5&-6\\3&7\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-6\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-\left(-6\times 3\right)}&-\frac{-6}{5\times 7-\left(-6\times 3\right)}\\-\frac{3}{5\times 7-\left(-6\times 3\right)}&\frac{5}{5\times 7-\left(-6\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{53}&\frac{6}{53}\\-\frac{3}{53}&\frac{5}{53}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\8\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{53}\times 4+\frac{6}{53}\times 8\\-\frac{3}{53}\times 4+\frac{5}{53}\times 8\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{76}{53}\\\frac{28}{53}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{76}{53},y=\frac{28}{53}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$5x-6y=4,3x+7y=8$$

5x және 3x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 3 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 5 санына көбейтіңіз.

$$3\times 5x+3\left(-6\right)y=3\times 4,5\times 3x+5\times 7y=5\times 8$$

Қысқартыңыз.

$$15x-18y=12,15x+35y=40$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 15x+35y=40 мәнін 15x-18y=12 мәнінен алып тастаңыз.

$$15x-15x-18y-35y=12-40$$

15x санын -15x санына қосу. 15x және -15x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-18y-35y=12-40$$

-18y санын -35y санына қосу.

$$-53y=12-40$$

12 санын -40 санына қосу.

$$-53y=-28$$

Екі жағын да -53 санына бөліңіз.

$$y=\frac{28}{53}$$

3x+7y=8 теңдеуінде \frac{28}{53} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$3x+7\times \frac{28}{53}=8$$

7 санын \frac{28}{53} санына көбейтіңіз.

$$3x+\frac{196}{53}=8$$

Теңдеудің екі жағынан \frac{196}{53} санын алып тастаңыз.

$$3x=\frac{228}{53}$$

Екі жағын да 3 санына бөліңіз.

$$x=\frac{76}{53}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{76}{53},y=\frac{28}{53}$$