{l}{5x-6y=10}{2x+7y=3} шешу

$$\left. \begin{array} { l } { 5 x - 6 y = 10 } \\ { 2 x + 7 y = 3 } \end{array} \right.$$

x, y мәнін табыңыз

$$x = \frac{88}{47} = 1\frac{41}{47} \approx 1.872340426$$

$$y=-\frac{5}{47}\approx -0.106382979$$

Ауыстыру формуласын пайдалану қадамдары

Теңдеулер жұбын ауыстыру арқылы шешу үшін, алдымен бір белгісіз мүше теңдеулерінің бірін шешіңіз. Содан соң, сол белгісіз мүше нәтижесін басқа теңдеудегімен ауыстырыңыз.

$$5x-6y=10,2x+7y=3$$

Теңдеулердің бірін таңдаңыз және x мәнін теңдік белгінің сол жағына шығару арқылы x мәнін шешіңіз.

$$5x-6y=10$$

Теңдеудің екі жағына да 6y санын қосыңыз.

$$5x=6y+10$$

Екі жағын да 5 санына бөліңіз.

$$x=\frac{1}{5}\left(6y+10\right)$$

\frac{1}{5} санын 6y+10 санына көбейтіңіз.

$$x=\frac{6}{5}y+2$$

Басқа теңдеуде \frac{6y}{5}+2 мәнін x мәнімен ауыстырыңыз, 2x+7y=3.

$$2\left(\frac{6}{5}y+2\right)+7y=3$$

2 санын \frac{6y}{5}+2 санына көбейтіңіз.

$$\frac{12}{5}y+4+7y=3$$

\frac{12y}{5} санын 7y санына қосу.

$$\frac{47}{5}y+4=3$$

Теңдеудің екі жағынан 4 санын алып тастаңыз.

$$\frac{47}{5}y=-1$$

Теңдеудің екі жағын да \frac{47}{5} санына бөліңіз, ол екі жағын да кері бөлшекке көбейткенмен тең.

$$y=-\frac{5}{47}$$

x=\frac{6}{5}y+2 теңдеуінде -\frac{5}{47} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$x=\frac{6}{5}\left(-\frac{5}{47}\right)+2$$

Бөлгішін бөлгішіне және алымын алымына көбейту арқылы -\frac{5}{47} санын \frac{6}{5} санына көбейтіңіз. Содан кейін бөлшекті барынша қысқартыңыз.

$$x=-\frac{6}{47}+2$$

2 санын -\frac{6}{47} санына қосу.

$$x=\frac{88}{47}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{88}{47},y=-\frac{5}{47}$$

Матрицаларды пайдалану қадамдары

Теңдеулерді стандартты формулаға келтіріп, теңдеулер жүйесін шешу үшін матрицаларды пайдаланыңыз.

$$5x-6y=10,2x+7y=3$$

Теңдеулерді матрицалық пішінде жазыңыз.

$$\left(\begin{matrix}5&-6\\2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\3\end{matrix}\right)$$

Теңдеуді \left(\begin{matrix}5&-6\\2&7\end{matrix}\right) кері матрицасына сол жағынан көбейту.

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-6\\2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\3\end{matrix}\right)$$

Матрица мен оның кері мәнінің көбейтіндісі жеке матрица болып табылады.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\3\end{matrix}\right)$$

Теңдеу белгісінің сол жағындағы матрицаларды көбейту.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-6\\2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}10\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) матрицасы үшін кері матрица \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) болып табылады, сондықтан матрица теңдеуін матрицаны көбейту мәселесі ретінде қайта жазуға болады.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{5\times 7-\left(-6\times 2\right)}&-\frac{-6}{5\times 7-\left(-6\times 2\right)}\\-\frac{2}{5\times 7-\left(-6\times 2\right)}&\frac{5}{5\times 7-\left(-6\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\3\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{47}&\frac{6}{47}\\-\frac{2}{47}&\frac{5}{47}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}10\\3\end{matrix}\right)$$

Матрицаларды көбейтіңіз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{47}\times 10+\frac{6}{47}\times 3\\-\frac{2}{47}\times 10+\frac{5}{47}\times 3\end{matrix}\right)$$

Арифметикалық есептерді шығарыңыз.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{88}{47}\\-\frac{5}{47}\end{matrix}\right)$$

x және y матрица элементтерін шығарыңыз.

$$x=\frac{88}{47},y=-\frac{5}{47}$$

Қысқарту ережелерін пайдалану қадамдары

Қысқарту арқылы шешу үшін, бір белгісіз мүшенің коэффициенттері екі теңдеуде де бірдей болуы керек, осылайша бір теңдеу екіншісінен алынғанда белгісіз мүшелер жойылады.

$$5x-6y=10,2x+7y=3$$

5x және 2x мәндерін тең ету үшін, бірінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 2 санына, ал екінші теңдеудің әрбір жағындағы барлық бос мүшелерді 5 санына көбейтіңіз.

$$2\times 5x+2\left(-6\right)y=2\times 10,5\times 2x+5\times 7y=5\times 3$$

Қысқартыңыз.

$$10x-12y=20,10x+35y=15$$

Теңдеу белгісінің әрбір жағындағы ұқсас мүшелерді қысқарту арқылы 10x+35y=15 мәнін 10x-12y=20 мәнінен алып тастаңыз.

$$10x-10x-12y-35y=20-15$$

10x санын -10x санына қосу. 10x және -10x мүшелері қысқартылып, теңдеуде шешуге болатын тек бір белгісіз мүше қалады.

$$-12y-35y=20-15$$

-12y санын -35y санына қосу.

$$-47y=20-15$$

20 санын -15 санына қосу.

$$-47y=5$$

Екі жағын да -47 санына бөліңіз.

$$y=-\frac{5}{47}$$

2x+7y=3 теңдеуінде -\frac{5}{47} мәнін y мәніне ауыстырыңыз. Шыққан теңдеуде бір ғана белгісіз шама болғандықтан, x мәнін тікелей таба аласыз.

$$2x+7\left(-\frac{5}{47}\right)=3$$

7 санын -\frac{5}{47} санына көбейтіңіз.

$$2x-\frac{35}{47}=3$$

Теңдеудің екі жағына да \frac{35}{47} санын қосыңыз.

$$2x=\frac{176}{47}$$

Екі жағын да 2 санына бөліңіз.

$$x=\frac{88}{47}$$

Жүйедегі ақаулар енді шешілді.

$$x=\frac{88}{47},y=-\frac{5}{47}$$